Question

Найдите первообразную для функции у = 4х + 2х^2

Answer 1

Решение:

$\boxed{y=4x+2{x}^{2} } \\ \\ F(x)=4\cdot\dfrac{{x}^{1+1}}{1+1}+2\cdot\dfrac{{x}^{2+1}}{2+1}+C=\boxed{\dfrac{4{x}^{2}}{2}+\dfrac{2{x}^{3}}{3}+C}$

Можно сократить первую дробь на $2$:

$\boxed{F(x)=\dfrac{4{x}^{2}}{2}+\dfrac{2{x}^{3}}{3}+C=2{x}^{2}+\dfrac{2{x}^{3}}{3}+C}$

Использованные формулы:

$f(x)={x}^{n} \Rightarrow F(x)=\dfrac{{x}^{n+1}}{n+1}+C, \: npu \: n\neq -1$

Ответ: $\Large{\boxed{F(x)=2{x}^{2}+\dfrac{2{x}^{3}}{3}+C}}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную (интеграл) для функции у = 4х + 2х^2, нужно взять интеграл от каждого слагаемого по отдельности.

Интеграл первого слагаемого 4х по переменной x: ∫(4x) dx = 2x^2 + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Интеграл второго слагаемого 2х^2 по переменной x: ∫(2x^2) dx = (2/3)x^3 + C2,

где C2 - ещё одна произвольная постоянная.

Итак, первообразная для функции у = 4х + 2х^2: F(x) = 2x^2 + (2/3)x^3 + C,

где C = C1 + C2 - итоговая произвольная постоянная.