Question

Решите уравнение Cos²x + Sinx + 1 = 0

Answer 1

Cos²x + Sinx + 1 = 0

Из основного тригонометрического тождества sin²x+cos²x= 1 выразим cos²x

cos²x= 1-sin²x

1 - sin²x + Sinx + 1 = 0 | : (-1)

sin²x - Sinx - 2 = 0

Пусть Sinx=t, тогда

t² - t - 2 = 0

D = (-1)² - 4*(-2) = 1+8 = 9 = 3²

$t_{1} = \frac{1+3}{2*1} = \frac{4}{2} = 2$

$t_{2} = \frac{1-3}{2*1} = -\frac{2}{2} = -1$

Вернёмся к замене

В выражении Sin x = а есть условие, что |a|≤1 , что ещё можно выразить так -1≤a≤1

Получается первый корень нам не подходит и мы работаем только со вторым

Sin x = -1

$x = -\frac{\pi }{2} +2\pi n$ , n∈Z

Ответ: $x = -\frac{\pi }{2} +2\pi n$ , n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся подстановкой и свойствами тригонометрии.

Пусть y = sin(x), тогда cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - y^2. Заменим cos^2(x) и sin(x) в исходном уравнении:

(1 - y^2) + y + 1 = 0.

Упростим уравнение:

2 - y^2 + y = 0.

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

y^2 - y + 2 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней.

Таким образом, исходное уравнение Cos^2(x) + Sin(x) + 1 = 0 не имеет решений в области вещественных чисел.