Question

площадь правильного шестиугольника равна 64. Найти площадь шестиугольника, вершинами которого являются середины исходного шестиугольника.

Answer 1

Ответ:

48

Пошаговое объяснение:

Пусть а1 - сторона исходного шестиугольника, а2 - искомого

Sисходного =6*Sр/ст тр-ка = 6 * 1/4 *a1^2 * √3

a1^2 = (64*4)/(6√3) = 128/(3√3)

Для всех правильных многоугольников существует две универсальные формулы:

an=2Rsin(180/n)

r=Rcos(180/n)

где an-сторона правильного многоугольника, R-радиус описанной окр-ти, r-радиус вписанной окр-ти, n-число сторон, в равностороннем тр-ке n=3

a1^2 = R1^2 = 4/3 * r1^2

r1^2 = 3/4 * R^2

R^2 = 4/3 * r1^2

r1 = R2 - для искомого шестиугольника

r1^2 = R2^2 = a2^2 = 3/4 * a1^2 = (128 * 3)/(4 * 3√3) = 32/√3

Sискомого = 6 * 1/4 *a2^2 * √3 = 6 * 1/4 *32/√3 * √3 = 48

Answer 2

Пусть A1A2A3A4A5A6 - исходный правильный шестиугольник, S - его площадь.

Середины сторон шестиугольника образуют новый правильный шестиугольник B1B2B3B4B5B6. Этот шестиугольник можно разделить на 12 равносторонних треугольников, каждый из которых будет иметь высоту, равную половине высоты исходного шестиугольника.

Таким образом, площадь нового шестиугольника можно выразить через площадь треугольника, высоту исходного шестиугольника и количество треугольников:

Площадь нового шестиугольника = 12 * (Площадь треугольника) = 12 * (0.5 * (Сторона треугольника) * (Высота исходного шестиугольника)).

Так как исходный шестиугольник - правильный, его стороны и высота образуют 30-60-90 треугольники. Пусть a - длина стороны исходного шестиугольника, тогда высота будет h = a * √3 / 2.

Площадь треугольника = 0.5 * a * h = 0.5 * a * (a * √3 / 2) = 0.25 * a^2 * √3.

Подставив это значение в выражение для площади нового шестиугольника, получим:

Площадь нового шестиугольника = 12 * (0.25 * a^2 * √3) = 3 * a^2 * √3.

Известно, что площадь исходного шестиугольника S равна 64. То есть, S = a^2 * √3 / 4. Решим это уравнение относительно a:

a^2 * √3 / 4 = 64, a^2 * √3 = 256, a^2 = 256 / √3, a = √(256 / √3), a = 8 * √(3 / 3), a = 8 * √3.

Теперь, подставляя значение a в выражение для площади нового шестиугольника:

Площадь нового шестиугольника = 3 * (8 * √3)^2 * √3 = 3 * 192 * √3 = 576 * √3.

Итак, площадь шестиугольника, вершинами которого являются середины сторон исходного шестиугольника, равна 576 * √3.