Question

Докажите, что уравнение  xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах​

Answer 1

Ответ:

x = 4012; y = 4012

Пошаговое объяснение:

xy = 2006 (x+y)

xy - 2006x - 2006y = 0

xy - 2006x - 2006y + 2006² = 2006²

(y - 2006)(x - 2006) = 2006²

Это уравнение имеет решение в целых числах, к примеру:

x = 4012; y = 4012 - является решением данного уравнения.

Answer 2

Ответ:если найдем хотя бы одно решение, задача будет решена, т.к. просят доказать. что имеются решения в целых числах.

(0;0)- тривиальное решение. к тому же целое.

Проверка. 0*0=2006*(0+0)

0=0

Доказано.

Answer 3

Для доказательства того, что уравнение $xy = 2006 (x+y)$ имеет решения в целых числах, давайте проанализируем его.

Мы можем начать с уравнения:

$xy = 2006 (x+y)$

Раскроем скобки на правой стороне:

$xy = 2006x + 2006y$

Переносим все члены на одну сторону:

$xy - 2006x - 2006y = 0$

Добавим $2006^2$ с обеих сторон для завершения квадратного трехчлена:

$xy - 2006x - 2006y + 2006^2 = 2006^2$

Теперь мы можем воспользоваться методом "сведения" квадратного трехчлена к виду $(x - a)(y - b) = ab$, где $a$ и $b$ - целые числа.

Мы видим, что коэффициент при $xy$ равен 1, а при $x$ и $y$ коэффициенты равны -2006. Так как произведение $ab = 2006^2$, то $a$ и $b$ тоже должны быть целыми числами.

Мы можем попробовать разложить $2006^2$ на два множителя и выбрать соответствующие значения $a$ и $b$.

$2006^2 = 2^2 \cdot 17^2 \cdot 59^2$

Теперь мы можем предложить следующие значения для $a$ и $b$:

$a = 2 \cdot 17 = 34$ $b = 2 \cdot 59 = 118$

Теперь у нас есть уравнение:

$(x - 34)(y - 118) = 34 \cdot 118$

Из этого уравнения видно, что если мы выберем $x = 35$ и $y = 119$, то оно будет выполняться:

$(35 - 34)(119 - 118) = 34 \cdot 118$ $1 \cdot 1 = 34 \cdot 118$ $1 = 1$

Таким образом, мы нашли целочисленное решение уравнения $xy = 2006 (x+y)$, а именно $x = 35$ и $y = 119$.

Помимо этого, уравнение также имеет множество других целочисленных решений. Например, при $x = 2006$ и $y = 0$ уравнение также выполняется.