Question

Найдите наибольшее значение функции y = -х⁴ + 8х² + 2.​

Answer 1

Ответ:

$18$

Пошаговое объяснение:

$y=-x^4+8x^2+2=-(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 4-4^2+4^2+2=\\ \\=-((x^2)^2-2\cdot x^2\cdot 4+4^2)+16+2=-(x^2-4)^2+18\\\\\\(x^2-4)^2\geq 0\\ \\-(x^2-4)^2\leq 0\\ \\-(x^2-4)^2+18\leq 0+18\\ \\y\leq 18$

Значит, $y$наиб = 18

Answer 2

Для найти наибольшее значение функции y = -x⁴ + 8x² + 2, нужно найти вершину параболы, которая представляет собой график этой функции. Функция является параболой вниз (с отрицательным коэффициентом при x⁴), и вершина параболы находится в точке, где первая производная равна нулю.

Сначала найдем первую производную функции y по x: y' = -4x³ + 16x.

Затем приравняем производную к нулю и найдем значения x, удовлетворяющие этому условию: -4x³ + 16x = 0.

Факторизуем это уравнение: -4x(x² - 4) = 0.

Это уравнение имеет три корня: x = 0 и x = ±2.

Теперь подставим эти значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

1. При x = 0: y = -0⁴ + 8 * 0² + 2 = 2.
2. При x = 2: y = -2⁴ + 8 * 2² + 2 = -16 + 32 + 2 = 18.
3. При x = -2: y = -(-2)⁴ + 8 * (-2)² + 2 = -16 + 32 + 2 = 18.

Следовательно, наибольшее значение функции y = -x⁴ + 8x² + 2 равно 18, и оно достигается при x = ±2.