Question

При каких a уравнения 4ax^2 -5x +a=0 и 3x^2 +2ax -5 =0 имеют хотя бы один общий корень?

Answer 1

1. способ

Решаем систему двух уравнений:

$\left \{ {{4ax^2-5x +a=0} \atop { 3x^2 +2ax -5=0}} \right.$    

Решаем первое уравнение:

$4ax^2-5x+a=0\\\\ D=25-16a^2\\\\ D \geq 0\\\\25-16a^2\geq 0\\\\\\-\frac{5}{4}\leq a\leq \frac{5}{4}$

$3x^2 +2ax -5=0\\\\D=4a^2+60=4(a^2+15)\geq 0$

при любых а

$x_{1}=\frac{-a-\sqrt{a^2+15}}{3} ; x_{2}=\frac{-a+\sqrt{a^2+15}}{3}$ -  корни второго уравнения.

Подставим их в первое уравнение:

$4a(\frac{-a-\sqrt{a^2+15}}{3})^2-5\cdot (\frac{-a-\sqrt{a^2+15}}{3})+a=0$  

или

$4a(\frac{-a+\sqrt{a^2+15}}{3})^2-5\cdot (\frac{-a+\sqrt{a^2+15}}{3})+a=0$

Уравнения решаются не просто.

2 способ

$\left \{ {{a=\frac{5x}{4x^2+1} } \atop {a=\frac{5-3x^2}{2x} } \right.$

Решаем систему графически. Строим графики функций в системе координат хОа. ( Применяем исследование функции с помощью производной) Cм. рис.

О т в е т. -1; 1

Answer 2

Два квадратных уравнения имеют хотя бы один общий корень, если их дискриминанты равны нулю. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

Для первого уравнения 4ax^2 - 5x + a = 0: a = 4a b = -5 c = a

Дискриминант первого уравнения: D1 = (-5)^2 - 4 * 4a * a = 25 - 16a^2

Для второго уравнения 3x^2 + 2ax - 5 = 0: a = 2a b = 2a c = -5

Дискриминант второго уравнения: D2 = (2a)^2 - 4 * 3 * (-5) = 4a^2 + 60

Условие для общего корня: D1 = D2.

25 - 16a^2 = 4a^2 + 60

Переносим всё в одну сторону: 20a^2 = 35

Делим обе стороны на 20: a^2 = 35/20 = 7/4

a = ±√(7/4) = ±√7/2

Таким образом, уравнения имеют хотя бы один общий корень при значениях a равных ±√7/2.