Question

Визначити першу координату вектора c , колінеарного до вектора a(1;2;2) і такого, що |c|=3. Відомо, що c утворює з віссю Ox гострий кут

Answer 1

Пусть вектор $\vec c$ имеет координаты $(x;y;z)$. Поскольку векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны

$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{2}{z}$

Откуда выразим через переменные $y,z:$ $y=2x$, $z=2x$.

$\left|\vec c\,\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2+(2x)^2}=\sqrt{9x^2}=3|x|$

$3|x|=3\\ |x|=1$

С учетом того, что вектор $\vec c$ образует с осью Ох острый угол, то $x=1$

Ответ: 1.

Answer 2

Спершу давайте з'ясуємо, як знайти вектор, колінеарний до даного вектора a(1;2;2), має довжину |c| = 3 і утворює гострий кут з позитивним напрямком вісі Ox.

Вектор a має координати (1; 2; 2).

Для початку, давайте знайдемо вектор b, який буде перпендикулярний вектору a і буде лежати у площині yz. Вектор b буде мати такі координати: (0; b2; b3).

Оскільки вектори a і b перпендикулярні, їхні скалярні добутки будуть рівні нулю:

a * b = 0 (1 * 0) + (2 * b2) + (2 * b3) = 0 2 * b2 + 2 * b3 = 0 b2 + b3 = 0 (1)

Тепер давайте знайдемо вектор c, який буде колінеарний вектору a і матиме довжину |c| = 3. Вектор c буде мати такі координати: (c1; c2; c3).

Оскільки вектори a і c колінеарні, вони будуть пропорційні один одному:

c = k * a

де k - коефіцієнт пропорційності.

Довжина вектора c:

|c| = √(c1^2 + c2^2 + c3^2)

Оскільки |c| = 3, ми можемо записати:

√(c1^2 + c2^2 + c3^2) = 3 c1^2 + c2^2 + c3^2 = 9 (2)

Також, ми знаємо, що вектор c утворює гострий кут з позитивним напрямком вісі Ox. Це означає, що скалярний добуток векторів c і Ox буде додатнім:

c * Ox = c1 = |c| * cos(θ)

де θ - кут між вектором c і позитивним напрямком вісі Ox.

Знаючи, що |c| = 3 і підставляючи значення косинуса кута, ми отримаємо:

c1 = 3 * cos(θ) (3)

Тепер ми маємо систему рівнянь, яку можна вирішити:

b2 + b3 = 0 (1) c1^2 + c2^2 + c3^2 = 9 (2) c1 = 3 * cos(θ) (3)

Розв'язавши цю систему рівнянь, ми зможемо знайти значення координати c1, що вас цікавить.