Question

На классной доске написано выражение *1*2*3*4*5*6*7*8. Крокодил Гена и Чебурашка играют в такую игру. Они ходят по очереди, заменяя на каждом ходу одну из звёздочек (любую, по их выбору) каким-то из знаков «+» или «-» (любым, по их усмотрению). Гена делает ход первым и стремится, чтобы получившиеся в конце игры число не было кратно трём. Чебурашка, напротив, стремится, чтобы это число было кратно трём. Кто из них выиграет, если оба будут играть наилучшим образом?

Answer 1

Ответ:

Чебурашка

Пошаговое объяснение:

Разделим числа на тройки и одну пару, {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}. В первых двух множествах содержатся числа, дающие, все возможные остатки от деления на 3. В последнем множестве содержатся числа, в сумме делящиеся на 3.

У Чебурашки есть выигрышная стратегия. Если Гена ставит знак перед числом из I или II множества, Чебурашка ставит противоположный знак перед соответствующим числом во II или I множестве соответственно (соответствующее число — число, дающее тот же остаток при делении на 3). Так, после каждого хода Чебурашки текущий остаток от деления на 3 равен нулю. Если Гена ставит знак перед числом из III множества, Чебурашка ставит такой же знак перед оставшимся числом из этого множества. Тогда к результату прибавится (или отнимется) число, кратное трём, что не влияет на остаток от деления на 3.

Таким образом, Чебурашка всегда "уравновешивает" кратность трём, и, так как именно он завершает игру, всегда получает число, кратное трём.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную игру более подробно. Изначально на доске написано выражение 12345678. Как мы знаем, чтобы число было кратно трём, необходимо, чтобы сумма его цифр была кратна трём. То есть, чтобы Гена выиграл, ему нужно будет так изменить знаки между цифрами, чтобы сумма не стала кратной трём. Соответственно, Чебурашке нужно наоборот, сделать так, чтобы сумма стала кратной трём.

Сумма всех цифр от 1 до 8 равна 36, что уже кратно трём. Для того чтобы Гена выиграл, ему необходимо сохранить эту сумму, исходя из его цели - сделать число, не кратное трём. Следовательно, Гена должен поменять один из знаков таким образом, чтобы сумма оставшихся цифр была кратной трём.

Давайте посмотрим, как он может это сделать:

• 12345678 → 123456*7+8 (сумма остаётся 36, не кратно трём)

Теперь Чебурашка должен изменить знак так, чтобы сумма стала кратной трём:

• 1234567+8 → 12345*6+7+8 (сумма становится 36 + 7 + 8 = 51, кратно трём)

Чебурашка выигрывает, так как ему удаётся сделать число, кратное трём, независимо от того, какие ходы сделает Гена.