Question

Принцып Дерехлея, помогите пожалуйста!! Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что этиокружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченнуюдугу.​

Answer 1

Предположим обратное, то есть то, что невозможно окружности совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Совместим окружности. Назовем $i$-тую точку $x_{i}$. Будем действовать следующим образом: в начальный момент хотя бы одна точка находится на дуге (пусть это точка $x_{i}$). Начнем движение одной окружности относительно другой. Как только точка $x_{i}$ сойдет с дуги, переключим внимание на другую точку $x_{j}$, которая в этот момент находится на дуге. В каждый момент считаем прибором расстояние, которое проходит точка, за которой мы наблюдаем. Поэтому мы посчитаем расстояние $s$, не превосходящее $nl$, где $n$ — количество точек, $l$ — суммарная длина дуг. С другой стороны, в любой момент прибор включен и считает расстояние. Поэтому $s$ не меньше $L$ — длины окружности. Имеем: $L\leq s\leq nl \Rightarrow nl\geq L \Rightarrow l\geq \frac{L}{n}=1$, однако $l$. Противоречие.

Answer 2

Принцип Дирихле, также известный как принцип ящиков, утверждает следующее: если N+1 объектов распределены по N контейнерам, то хотя бы в одном контейнере будет содержаться не менее двух объектов.

В данной задаче у нас имеется 100 точек и несколько дуг на окружности. Мы можем рассматривать точки как объекты, а дуги как контейнеры. Всего у нас имеется 100 точек и несколько (более чем одна) дуга.

Предположим, что мы не можем совместить эти окружности так, чтобы ни одна точка не попала на дугу. Это означает, что каждая точка должна попасть на одну из дуг. Если мы рассмотрим дуги как контейнеры и точки как объекты, то получим, что 100 точек должны быть распределены по нескольким (более чем одному) контейнеру.

Согласно принципу Дирихле, хотя бы в одном контейнере должно быть не менее двух точек. Но это противоречит условию, так как на каждой из окружностей отмечено только по одной точке.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и предположение о невозможности совмещения окружностей так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу, неверно. Значит, существует способ совместить эти окружности так, чтобы ни одна точка не попала на отмеченную дугу.