Question

Чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо А( -5 7 12), В( 4 -8 3), С( 13 -23 -6)?

Answer 1

Даны точки А( -5 7 12), В( 4 -8 3), С( 13 -23 -6).

Вектор АВ = (4-(-5); -8-7; 3-12) = (9; -15; -6).

Уравнение АВ: (x + 5)/9 = (y - 7)/(-15) = (z - 12)/(-6).

Подставим координаты точки С.

(13 + 5)/9 = 18/9 = 2.

(-23 - 7)/(-15) = -30/-15 = 2.

(-6 - 12)/(-6) = -18/-6 = 3. Нет, не лежит.

Answer 2

Для того щоб визначити, чи лежать точки A, B і C на одній прямій, можна використовувати векторну алгебру. Якщо вектори AB і AC паралельні, то ці точки лежать на одній прямій.

Вектор AB обчислюється як різниця координат B і A: AB = B - A = (4 - (-5), -8 - 7, 3 - 12) = (9, -15, -9).

Вектор AC обчислюється як різниця координат C і A: AC = C - A = (13 - (-5), -23 - 7, -6 - 12) = (18, -30, -18).

Тепер перевіримо, чи ці вектори паралельні. Для цього можна порівняти їхні напрямні коефіцієнти. Якщо вони в пропорції, то вектори паралельні.

Для вектора AB:
ABx/ACx = 9/18 = 0.5
ABy/ACy = -15/-30 = 0.5
ABz/ACz = -9/-18 = 0.5

Всі три співвідношення мають спільний коефіцієнт 0.5, що означає, що вектори паралельні.

Отже, вектори AB і AC паралельні, тобто точки A, B і C лежать на одній прямій.