Question

Дана шахматная доска, клетки которой окрашены в чёрный и белый цвета обычным образом. Разрешается за один ход, выбрав любой квадрат 2 × 2 клеточки, поменять цвета всех клеток в этом квадрате на противоположные. Можно ли, сделав несколько указанных ходов, получить доску, окрашенную в один цвет?

Answer 1

Ответ: да, можно, за 24 хода.

Объяснение:

Answer 2

Нет, невозможно получить доску, окрашенную в один цвет, используя описанные ходы.

Для того чтобы понять это, рассмотрим, что происходит при каждом ходе. После каждого хода цвет каждой клетки в квадрате 2 × 2 меняется на противоположный. Таким образом, каждый ход изменяет четное количество клеток (4 клетки). Но если изначально на доске разное количество белых и чёрных клеток, то невозможно получить доску с одним цветом.

Предположим, что изначально на доске было нечетное количество клеток одного цвета (например, белых). После каждого хода останется нечетное количество клеток того же цвета. Поскольку на доске всего 64 клетки (четное число), то невозможно преобразовать все клетки в один цвет.

Предположим, что изначально на доске было четное количество клеток одного цвета (например, белых). После каждого хода также останется четное количество клеток того же цвета. В этом случае также невозможно преобразовать все клетки в один цвет.

Таким образом, независимо от того, сколько ходов будет сделано, на доске всегда останется равное количество белых и чёрных клеток, и невозможно будет добиться того, чтобы все клетки стали одного цвета.