Question

В треугольнике ABC точка Ib — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, A2 — середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC. Известно, что ∠C=44∘. Найдите углы треугольника BA2Ib.

Answer 1

Пусть $\angle A=\alpha,\; \angle B=\beta,\; \angle C=\gamma=44^o$. Легко видеть, что $\angle A_{2}BI_{b}=\angle ABI_{b}-\angle ABA_{2}=\beta/2-\angle ABA_{2}$ (поскольку $BI_{b}$ биссектриса угла $B$). Заметим, что $\angle ABA_{2}=\angle ACA_{2}=x$, так как они опираются на общую дугу $AA_{2}$. Более того, треугольник $A_{2}BC$ равнобедренный, поскольку $A_{2}B=A_{2}C$ ($A_{2}$ — середина дуги), и $\alpha=\angle BA_{2}C$. Имеем: $\alpha=180^o-2(\gamma+x)$, откуда $x=\frac{180^o-2\gamma-\alpha}{2}$. Итого: $\angle A_{2}BI_{b}=\beta/2-\frac{180^o-2\gamma-\alpha}{2}=\frac{\gamma}{2}$.

Пусть $AM$ — биссектриса угла $A$ ($M$ — середина дуги $BC$). Тогда $\angle A_{2}AM=90^o$. Более того, поскольку $AI_{b}$ является биссектрисой внешнего угла $A$, то  $\angle I_{b}AC=90^o-\alpha/2$, откуда $\angle I_{b}AM=90^{o}$. Значит, $A_{2}$ лежит на отрезке $AI_{b}$.

Здесь уже просто: $\angle I_{b}A_{2}B=180^o-\angle AA_{2}B=180^o-\gamma$. Оставшийся угол: $\angle A_{2}I_{b}B=180^o-\gamma/2-180^o+\gamma=\gamma/2$.

Итак, углы треугольника: $\gamma/2=22^o, \gamma/2=22^o, 180^o-\gamma=136^o$.

Ответ: $22^o,\; 22^o,\; 136^o$.

Answer 2

Давайте разберемся с поставленной задачей.

1. Так как Iₐb — центр вневписанной окружности, то угол C/2 равен углу IₐbCB.
2. Также, по свойствам описанной окружности, угол CAB равен углу C₂AB.
3. Заметим, что треугольник IₐbC₂ является равнобедренным, так как у него IₐbC = IₐbC₂ (так как оба угла опираются на дугу AC, равные половине угла C).

Теперь мы можем выразить угол IₐbC₂ через углы треугольника ABC:

Угол IₐbC₂ = 180° - (IₐbC + IₐbC₂) = 180° - 2 * IₐbC

Так как угол C/2 равен углу IₐbCB и угол CAB равен углу C₂AB:

Угол IₐbC = C/2 = 44° Угол IₐbC₂ = 180° - 2 * 44° = 92°

Теперь, чтобы найти углы треугольника BA₂Iₐb, обратим внимание на следующее:

1. Угол BA₂Iₐb равен половине угла BAC, то есть 22° (половина угла C).
2. Угол IₐbBA₂ равен углу IₐbC₂, так как сторона BA₂ сонаправлена стороне IₐbC₂ (они оба опираются на дугу AC).

Итак, углы треугольника BA₂Iₐb:

∠BA₂Iₐb = 22° ∠IₐbBA₂ = 92°

Получили, что углы треугольника BA₂Iₐb равны 22°, 92° и 66°.