Question

При каких значениях x функция f(x) =x^3-3x^2/x^2+4 x-5 принимает положительные значения

Answer 1

$f(x)=\dfrac{x^3-3x^2}{x^2+4x-5}\ \ \ \Rightarrow \ \ f(x)=\dfrac{x^2\cdot (x-3)}{(x+5)(x-1)}>0\\\\\\znaki\ f(x):\ \ \ ---(-5)+++(0)+++(1)---(3)+++\\\\\\x\in (-5\, ;\ 0\, )\cup (\ 0\, ;\, 1\, )\cup (\ 3\, ;+\infty )$

Answer 2

нужно решить неравенство (x³-3x²)/(x²+4x-5 )=х²(х-3)/((х+5)*(х-1))>0

найдем корни левой части х=0; х=3; х=-5; х=1, последние два подобрал по Виету.

______-5_______0____1________3_____________

-                  +              +          -              +

х∈ (-5;0)∪(0;1)∪(3;+∞)

Answer 3

Давайте рассмотрим условия, при которых функция $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{x^2 + 4x - 5}$ принимает положительные значения.

Для того чтобы $f(x)$ была положительной, числитель и знаменатель должны быть одновременно положительными или отрицательными. Рассмотрим числитель $x^3 - 3x^2$ и знаменатель $x^2 + 4x - 5$:

1. Числитель: $x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$.
2. Знаменатель: $x^2 + 4x - 5$.

Теперь рассмотрим знаки числителя и знаменателя в различных интервалах:

1. Когда $x < -4$:

   • Числитель: $x^2$ положителен, $x - 3$ отрицателен. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
   • Знаменатель: $x^2 + 4x - 5$ положителен (полный квадрат с положительным коэффициентом перед $x^2$).

2. Когда $-4 < x < -3$:

   • Числитель: $x^2$ положителен, $x - 3$ отрицателен. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
   • Знаменатель: $x^2 + 4x - 5$ положителен.

3. Когда $-3 < x < 0$:

   • Числитель: $x^2$ положителен, $x - 3$ отрицателен. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
   • Знаменатель: $x^2 + 4x - 5$ положителен.

4. Когда $x = -3$:

   • Знаменатель обращается в ноль, поэтому $f(x)$ не определена в этой точке.

5. Когда $0 < x < 3$:

   • Числитель: $x^2$ положителен, $x - 3$ отрицателен. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
   • Знаменатель: $x^2 + 4x - 5$ положителен.

6. Когда $x > 3$:

   • Числитель: $x^2$ положителен, $x - 3$ положителен. Произведение положительных чисел положительно.
   • Знаменатель: $x^2 + 4x - 5$ положителен.

Итак, функция $f(x)$ принимает положительные значения в интервалах $x < -4$, $-4 < x < -3$, $0 < x < 3$ и $x > 3$.