Question

приведите матрицу к каноничному виду: 1 ряд: 2 1 4 8 2 ряд: -2 -1 3 -3 3 ряд: 4 -4 0 5 4 ряд: 6 2 1 -1

Answer 1

Ответ:

$\left[\begin{array}{cccc}2&1&4&8\\-2&-1&3&-3\\4&-4&0&5\\6&2&2&-1\end{array}\right]$

Вычитаем из 2, 3 и 4 строки первую, умноженную на -1, 2 и 3 соответственно:

$\left[\begin{array}{cccc}2&1&4&8\\0&0&7&-5\\0&-6&-8&-11\\0&-1&-10&-25\end{array}\right]$

Умножаем первый столбец на 1/2:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&4&8\\0&0&7&-5\\0&-6&-8&-11\\0&-1&-10&-25\end{array}\right]$

Вычитаем из 2, 3 и 4 столбца первый, умноженный на 1, 4 и 8 соответственно:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&7&-5\\0&-6&-8&-11\\0&-1&-10&-25\end{array}\right]$

Поменяем местами вторую и четвертую строку и умножим вторую строку на -1:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&10&25\\0&-6&-8&-11\\0&0&7&-5\end{array}\right]$

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 6:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&10&25\\0&0&52&139\\0&0&7&-5\end{array}\right]$

Вычтем из 3 и 4 столбца второй, умноженный на 10 и 25 соответственно:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&52&139\\0&0&7&-5\end{array}\right]$

Умножим третью строку на 1/52:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&\frac{139}{52} \\0&0&7&-5\end{array}\right]$

Вычтем из четвертой строки третью, умноженную на 7:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&\frac{139}{52} \\0&0&0&-5-\frac{973}{52} \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&\frac{139}{52} \\0&0&0&-\frac{1233}{52} \end{array}\right]$

Вычтем из четвертого столбца третий, умноженный на $\frac{139}{52}$:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\0&0&0&-\frac{1233}{52} \end{array}\right]$

Умножим четвертую строку на $-\frac{52}{1233}$:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\0&0&0&1 \end{array}\right]$

Ранг матрицы равен четырем, привели к каноничному виду при помощи элементарных преобразований.

Answer 2

Для приведения матрицы к каноническому виду, мы должны применить элементарные преобразования строк с целью привести её к ступенчатому виду, а затем дальше к улучшенному ступенчатому виду. Давайте начнем:

Исходная матрица:

diffCopy code
2   1   4   8
-2 -1   3  -3
4  -4  0   5
6   2   1  -1

1. Преобразуем вторую строку: прибавим первую строку к второй строке.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
4  -4  0   5
6   2   1  -1

2. Преобразуем третью строку: вычтем вторую строку из третьей строки.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
4  -4  -7   0
6   2   1  -1

3. Преобразуем четвертую строку: вычтем вторую строку, умноженную на 3, из четвертой строки.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
4  -4  -7   0
6   2  -2  -16

4. Преобразуем четвертую строку: поделим четвертую строку на 2.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
4  -4  -7   0
3   1  -1  -8

5. Преобразуем третью строку: прибавим вторую строку, умноженную на 4, к третьей строке.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
4  -4   0   20
3   1  -1  -8

6. Преобразуем третью строку: поделим третью строку на 4.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
1  -1   0   5
3   1  -1  -8

7. Преобразуем четвертую строку: прибавим третью строку к четвертой строке.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
1  -1   0   5
4   0  -1  -3

8. Преобразуем четвертую строку: прибавим третью строку к четвертой строке, умноженную на 4.

Copy code
2   1   4   8
0   0   7   5
1  -1   0   5
0   4  -1   17

Теперь матрица находится в ступенчатом виде. Для перехода к улучшенному ступенчатому виду и дальнейшему приведению к каноническому виду, можно произвести обратные ходы Гаусса. В данном случае они не требуются, так как матрица уже находится в каноническом виде.