Question

LimX стремится к 0(X^3+5x-10)/x^3+x​

Answer 1

Ответ и решение на фотографии.

Answer 2

Чтобы вычислить предел данной функции при $x$ стремящемся к 0, давайте разложим выражение:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^3 + 5x - 10}}{{x^3 + x}}$$

Сначала проведем деление каждого члена дроби на $x^3$:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^3/x^3 + 5x/x^3 - 10/x^3}}{{x^3/x^3 + x/x^3}}$$

Упростим каждое слагаемое:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + 5/x^2 - 10/x^3}}{{1 + 1/x^2}}$$

Теперь, когда $x$ стремится к 0, $x^2$ стремится к 0 быстрее, чем $x^3$, поэтому слагаемые $5/x^2$ и $10/x^3$ оба стремятся к бесконечности. Аналогично, $1/x^2$ стремится к бесконечности. Таким образом, дробь может быть упрощена до:

$$\frac{{\infty}}{{\infty}}$$

Это неподходящая форма для применения правила Лопиталя. Для применения этого правила, давайте найдем производную числителя и знаменателя по $x$:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{(1 + 5/x^2 - 10/x^3)'}}{{(1 + 1/x^2)'}}$$

Дифференцируя числитель и знаменатель, получаем:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{(0 - 10/x^3)'}}{{(0 - 2/x^3)'}}$$

Продолжая дифференцировать, получаем:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{30/x^4}}{{6/x^4}}$$

Теперь, когда $x$ стремится к 0, оба числитель и знаменатель стремятся к 0. Применяя правило Лопиталя в этом случае, получаем:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{30/x^4}}{{6/x^4}} = \frac{{\infty}}{{\infty}}$$

По-прежнему получается неподходящая форма. Это может означать, что либо вычисление прошло неправильно, либо функция имеет особый вид в окрестности 0. Может быть, вам стоит пересмотреть выражение и проверить его правильность.