Question

Обчислити значення похідної функції игрик равен корню tg 6 x у точці x дробью пи на 24

Answer 1

Ответ: 6

Пошаговое объяснение: фото

Answer 2

Давайте спробуємо розібратися з цим завданням. Вам потрібно обчислити похідну в точці $x = \frac{\pi}{24}$ для функції $y = \sqrt{\tan(6x)}$.

Спочатку знайдемо похідну функції $y$ за допомогою правила ланцюгового правила:

$y' = \frac{d}{dx} \sqrt{\tan(6x)} = \frac{1}{2\sqrt{\tan(6x)}} \cdot \frac{d}{dx} \tan(6x).$

Зараз знайдемо похідну $\frac{d}{dx} \tan(6x)$:

$\frac{d}{dx} \tan(6x) = 6 \sec^2(6x).$

Тепер підставимо знайдену похідну назад в вираз для $y'$:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\tan(6x)}} \cdot 6 \sec^2(6x) = \frac{3\sec^2(6x)}{2\sqrt{\tan(6x)}}.$

Тепер, щоб обчислити значення похідної в точці $x = \frac{\pi}{24}$, підставимо це значення в отриманий вираз:

$y' = \frac{3\sec^2\left(6 \cdot \frac{\pi}{24}\right)}{2\sqrt{\tan\left(6 \cdot \frac{\pi}{24}\right)}}.$

Спростимо це далі:

$y' = \frac{3\sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}}.$

Значення $\sec(\frac{\pi}{4})$ дорівнює $\sqrt{2}$, а $\tan(\frac{\pi}{4})$ дорівнює $1$, тому:

$y' = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot \sqrt{1}} = \frac{6}{2} = 3.$

Отже, значення похідної функції $y$ в точці $x = \frac{\pi}{24}$ дорівнює $3$.