Question

Известно, что точки А (1;2;-1), В (0;3;1), С (3;2;-4) и D (a;4;0) лежат в одной плоскости. Найдите а.

Answer 1

Ответ:

Уравнение плоскости ABC

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек

a+2b-c+d=0

3b+c+d=0

3a+2b-4c+d=0

Пусть b=1

a-c+d= -2

c+d= -3

3a-4c+d= -2

a+2d=-5

3a+5d=-14

d= -1 a= -3 c= -2  

ABC

-3x+y-2z-1=0

Подставляем D в уравнение

-3a+4-1=0

a= 1

D(1;4;0)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Четыре точки лежат в одной плоскости, если определитель матрицы, составленной из векторов, образованных этими точками, равен нулю. Давайте посчитаем этот определитель:

Пусть вектор AB = (x₁, y₁, z₁) - вектор между точками A и B. Вектор AC = (x₂, y₂, z₂) - вектор между точками A и C. Вектор AD = (x₃, y₃, z₃) - вектор между точками A и D.

Тогда матрица будет выглядеть следующим образом:

Copy code
| x₁  y₁  z₁ |
| x₂  y₂  z₂ |
| x₃  y₃  z₃ |

Подставляем координаты векторов AB, AC и AD:

cssCopy code
|  0  1  2 |
|  3  2 -1 |
|  a  3  1 |

Теперь вычислим определитель этой матрицы и приравняем его к нулю:

det = 0a(12 - 3*(-1)) - 1*(31 - a(-1)) + 2*(32 - a2) det = 0*a(2 + 3) - 1(3 + a) + 2(6 - 2a) det = 0 - 3 - a + 12 - 4a det = -4a + 9

Таким образом, чтобы точки A, B, C и D лежали в одной плоскости, определитель матрицы должен быть равен нулю:

-4a + 9 = 0

Решаем уравнение относительно 'a':

-4a = -9 a = 9/4

Итак, чтобы точки А, В, С и D лежали в одной плоскости, значение 'a' должно быть равно 9/4.