Question

Пусть p q r простые числа такие, что (p+1)(q+1)r=pqr+27

Answer 1

Ответ:

p=3, q=5, r=3 или p=5, q=3, r=3

Пошаговое объяснение:

(p+1)(q+1)r=pqr+27

(pq+p+q+1)r=pqr+27

pqr+pr+qr+r=pqr+27

pq+qr+r=27

(p+q+1)r=27=3*3*3, так как p, q, r - простые числа , то

r=3, p+q+1=9, p+q=9-1=8, p+q=8

p=2 => q=8-2=6  не подходит

p=3 => q=8-3=5

p=5 => q=8-5=3

p=7 => q=8-7=1  не подходит

p>8 => p+q>8

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и попробуем найти целочисленные решения для простых чисел p, q и r.

Уравнение: (p+1)(q+1)r = pqr + 27

Распишем левую часть уравнения: pq + p + q + 1 = pqr + 27

Перенесем все слагаемые на одну сторону: pq - pqr + q - 26 = 0

Факторизуем уравнение: p(q - qr) + (q - 26) = 0

Так как p и q - простые числа, это означает, что они больше 1. Рассмотрим два случая:

1. Если q = qr (так как p не может быть равным 0 или 1): Это возможно только в случае, когда r = 1. Тогда у нас получится q = q, что верно для любого q. Однако у нас также есть ограничение на p, а именно p > 1. Таким образом, этот случай не подходит.

2. Если q - qr = 0: Это означает, что 1 - r = 0, следовательно, r = 1.

Теперь у нас есть уравнение: pq + p + q - 26 = 0

Мы видим, что уравнение содержит только переменные p и q, и нет ограничений на r. Мы также знаем, что p и q - простые числа. Попробуем рассмотреть некоторые возможные пары (p, q):

(p = 2, q = 23) - уравнение выполняется, так как 2 * 23 + 2 + 23 - 26 = 0. (p = 3, q = 19) - уравнение не выполняется.

Таким образом, единственная подходящая пара (p, q) - это (2, 23). Следовательно, r = 1.

Итак, простые числа p, q и r, удовлетворяющие уравнению, это p = 2, q = 23 и r = 1.