Question

треугольная пирамида имеет объем равный 3, три ее вершины находятся в точках A(1,2,3) B(3,1,2) C(2,3,1) Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси Oy

Answer 1

Даны 3 вершины: A(1,2,3) B(3,1,2) C(2,3,1).

Координаты точки Д(0; у: 0).

Найдём координаты нормального вектора плоскости, проходящей через заданные точки как векторное произведение.

Векторы: АВ = (2; -1; -1), АС = (1; 1; -2).

i j k| i j

2 -1 -1| 2 -1

1 1 -2| 1 1 = 2i -j + 2k + 4j + +1i + 1k = 3i + 3j + 3k = (3; 3; 3).

Находим вектор АД = (-2; (у - 2); -3).

Определяем смешанное произведение (АВхАС)*АД.

(АВхАС) = (3; 3; 3).

АД = (-2; (у - 2); -3).

(АВхАС)*АД = -6 + 3(у - 2) -9 = 3у - 21.

Переходим к уравнению объёма пирамиды: V = (1/6)*(АВхАС)*АД/

Подставим значения объёма  V = 3 и произведения.

3 = (1/6)*(3у - 21),

18 = 3у - 21,

3у = 39,

у = 39/3 = 13.

Ответ: Д(0; 13; 0).

Answer 2

Для нахождения координат четвертой вершины (пусть это будет точка D) треугольной пирамиды, мы можем использовать информацию о её объеме и о том, что точка D лежит на оси Oy.

Объем пирамиды можно найти с помощью следующей формулы:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды от основания до вершины.

Так как пирамида треугольная, её основание - это треугольник ABC, а высоту можно найти как расстояние от точки D до плоскости ABC. Поскольку D лежит на оси Oy, координаты D будут (0, y, 0), где y - координата, которую мы хотим найти.

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона, зная длины его сторон:

S_ABC = √[p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)],

где p - полупериметр треугольника, AB, BC и CA - длины его сторон. Длины сторон можно найти с помощью расстояния между точками:

AB = √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2], BC = √[(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2], CA = √[(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2],

где (x_A, y_A, z_A), (x_B, y_B, z_B) и (x_C, y_C, z_C) - координаты точек A, B и C соответственно.

Теперь у нас есть все данные для вычисления объема V:

V = (1/3) * S_ABC * h

Так как объем V уже известен и равен 3, мы можем найти высоту h:

3 = (1/3) * S_ABC * h

h = 9 / S_ABC

Теперь у нас есть значение h, и мы знаем, что точка D имеет координаты (0, y, 0). Мы также знаем, что высота пирамиды относительно основания ABC равна h.

Теперь мы можем найти координату y точки D:

h = y

Таким образом, координаты точки D равны (0, 9 / S_ABC, 0), где S_ABC - площадь треугольника ABC, которую мы вычислили выше.