Question

Из вершины развернутого угла провели 8 лучей, содержащихся в нем. Сколько углов, не больших развернутого, получилось приэтом?​

Answer 1

На первый взгляд, 8 лучей, проведенных из вершины развернутого угла, делят развернутый угол на 9 углов.
Но на самом деле в развёрнутом угле лучи создают гораздо больше углов

Известно, что любые два луча образуют угол.

1) 2+8 = 10 лучей всего содержится в исходном развернутом угле, состоящем из двух лучей, после того, как внутри из его вершины провели еще 8 лучей.

2) Число сочетаний С из n элементов по k вычисляется по формуле:
С = (n!) / (((k!) • ((n-k)!))

В нашем случае n=10 лучей, из них любые k=2 луча образуют угол.
Посчитаем количество способов, которыми можно из 10 лучей образовать углы при помощи двух лучей:
(10!) / (((2!) • (10-2)!)) = (10!) / ((2!) • (8!)) =
(1•2•3•4•5•6•7•8•9•10)/(1•2 • 1•2•3•4•5•6•7•8)=
= 9•10/2 = 45 углов получилось.

Ответ: 45

ПРОВЕРКА
Рассмотрим варианты по этой логике:

1) Проводим 1 луч
2+1=3 - всего 3 луча в развернутом угле
(3!) / (((2!) • (3-2)!))= (3!) / ((2!) • (1!)) =
(1•2•3)/(1•2 • 1)=
= 6/2 = 3 угла получилось.

2) Проводим 2 луча
2+2=4 - всего 4 луча в развернутом угле
(4!) / (((2!) • (4-2)!))= (4!) / ((2!) • (2!)) =
(1•2•3•4)/(1•2 • 1•2) = 6 углов получилось.

3) Проводим 3 луча
3+2=5 - всего 5 лучей в развернутом угле
(5!) / (((2!) • (5-2)!))= (5!) / ((2!) • (3!)) =
(1•2•3•4•5)/(1•2 • 1•2•3) = 10 углов получилось.

3) Проводим 4 луча
4+2=6 - всего 6 лучей в развернутом угле
(6!) / (((2!) • (6-2)!))= (6!) / ((2!) • (4!)) =
(1•2•3•4•5•6)/(1•2 • 1•2•3•4) = 15 углов получилось.

Answer 2

Пусть у нас есть вершина развернутого угла, из которой проведено 8 лучей, содержащихся в этом угле. Вершина угла разделяет плоскость на две части: одну, содержащую угол, и другую, не содержащую угол.

Каждый из лучей, проведенных из вершины развернутого угла, делит угол на две части. Таким образом, общее количество полученных углов (включая сам развернутый угол) будет равно 8 + 1 = 9.

Теперь нам нужно учесть, что вопрос задает, сколько углов "не больших развернутого" было получено. Развернутый угол составляет 180 градусов. Если угол меньше 180 градусов, то он будет меньше развернутого угла. В данном случае все 9 углов, полученных в результате разделения, будут меньше 180 градусов.

Итак, при разделении вершины развернутого угла на 8 лучей было получено 9 углов, и все они меньше развернутого угла.