Question

Изначально на доске написано 11 единиц. За одну операцию можно стереть с доски любые три числа a, b, c и записать вместо них a+b, b+c и −b. Через некоторое время 10 из выписанных на доске чисел оказались пятерками. Чему могло быть равно одиннадцатое число?

Answer 1

Ответ:

Для любого набора из n чисел на доске рассмотрим следующую величину X: сумму всех чисел, уменьшенную на n. Нетрудно проверить, что это – инвариант. В наборе из условия X = (1 + 2 + ... + 20) – 20 = 190. После 19 операций, когда на доске останется одно число p, X = p – 1. Значит, p = 191.

Пошаговое объяснение:

ответ должен быть верен, обращайся

Answer 2

Давайте рассмотрим, что происходит на каждом шаге операции:

Изначально у нас есть 11 единиц. После первой операции: 1+1, 1+1, -1 = 2, 2, -1 После второй операции: 2+2, 2+(-1), -2 = 4, 1, -2 После третьей операции: 4+1, 1+(-2), -1 = 5, -1, -1

Теперь у нас есть две единицы и одна пятерка. Давайте проведем операцию с ними: После четвертой операции: 5+(-1), -1+5, 1 = 4, 4, 1

Теперь у нас есть две пятерки и одна четверка. Проведем операцию еще раз: После пятой операции: 5+4, 4+(-1), -4 = 9, 3, -4

Теперь у нас есть пятерка, девятка и тройка. Проведем операцию: После шестой операции: 9+3, 3+(-4), -3 = 12, -1, -3

На данном этапе у нас есть две пятерки, одиннадцать и -один. Проведем операцию: После седьмой операции: 11+(-1), -1+5, 1 = 10, 4, 1

Теперь у нас есть 10, четверка и единица. Однако нам нужно, чтобы было 10 пятерок и одно другое число. Давайте проведем операцию, используя 10 пятерок: После восьмой операции: 5+5, 5+(-1), -5 = 10, 4, -5

Теперь у нас есть 10 и два числа - 4 и -5. Однако в условии сказано, что у нас должно быть 10 пятерок. Это означает, что 11-ое число на доске не может быть пятеркой.

Таким образом, невозможно получить ситуацию, при которой одиннадцатое число на доске было бы чем-то отличным от уже имеющихся 10 пятерок.