Question

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2) и D(2; -3; 1). Распишите полностью

Answer 1

Даны точки А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2) и  D(2; -3; 1).

Находим координаты и длины векторов.

                  х      у       z             Длина

  Вектор АВ          -1     0       -1        √2 ≈ 1,414213562

  Вектор СД          0      -1       -1        √2 ≈ 1,414213562.

cos α = (-1*0 + 0*(-1) + (-1)*(-1)) / (√2 * √2) = 1/2.

Угол равен arc cos(1/2) = 60 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол между прямыми AB и CD, мы можем использовать векторное произведение исходных векторов.

Вначале найдём векторы AB и CD, используя координаты исходных точек:

Вектор AB = B - A = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 2) = (-1, 0, -1) Вектор CD = D - C = (2 - 2, -3 - (-2), 1 - 2) = (0, -1, -1)

Затем найдём их векторное произведение:

Векторное произведение AB × CD = (AB_y * CD_z - AB_z * CD_y, AB_z * CD_x - AB_x * CD_z, AB_x * CD_y - AB_y * CD_x) = (0 * (-1) - (-1) * (-1), (-1) * 0 - (-1) * (-1), (-1) * (-1) - 0 * (-1)) = (1, 1, 1)

Длины векторов AB и CD можно найти по формуле:

|AB| = √(AB_x² + AB_y² + AB_z²) = √((-1)² + 0² + (-1)²) = √(1 + 0 + 1) = √2 |CD| = √(CD_x² + CD_y² + CD_z²) = √(0² + (-1)² + (-1)²) = √(0 + 1 + 1) = √2

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами:

cos θ = (AB · CD) / (|AB| * |CD|)

где AB · CD - скалярное произведение векторов AB и CD.

AB · CD = AB_x * CD_x + AB_y * CD_y + AB_z * CD_z = (-1) * 0 + 0 * (-1) + (-1) * (-1) = 0 + 0 + 1 = 1

cos θ = 1 / (√2 * √2) = 1 / 2

Теперь найдём значение угла θ, применяя обратную функцию косинуса (арккосинус) к полученному значению:

θ = arccos(1 / 2) ≈ 60°

Таким образом, угол между прямыми AB и CD примерно равен 60°.