Question

Помогите решить двойной интеграл ∫∫(x^2 -5y) dx dy D D: x=2; y=x/2; y=x

Answer 1

$D:\ x=2\ ,\ y=x\ ,\ y=\dfrac{x}{2}\\\\\\\iint\limits_{D}\, (x^2-5y)\, dx\, dy=\int\limits^2_0dx \int\limits^{x}_{\frac{x}{2}}\, (x^2-5y)\, dy=\int\limits^2_0\, dx \Big(x^2y-\dfrac{5y^2}{2}\Big)\Big|_{\frac{x}{2}}^{x}=\\\\\\=\int\limits^2_0\Big(x^3-\dfrac{5x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{5x^2}{8}\Big)\, dx=\int\limits^2_0\, \Big(\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{15x^2}{8}\Big)\, dx=\Big(\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{15x^3}{8\cdot 3}\Big)\Big|_0^2=\\\\\\=\dfrac{2^4}{8}-\dfrac{5\cdot 2^3}{8}=2-5=-3$

Answer 2

Для решения данного двойного интеграла мы будем интегрировать сначала по переменной x, а затем по переменной y. Дано:

∫∫(x^2 - 5y) dx dy

и область интегрирования D, ограниченную кривыми x=2, y=x/2 и y=x.

Сначала определим пределы интегрирования для x и y.

Для x: x изменяется от 2 до y/2, так как x=2 является левой границей, а y/2 (из уравнения y=x/2) - правой границей для x.

Для y: y изменяется от x (нижняя граница) до x/2 (верхняя граница).

Теперь можно записать интеграл:

∫∫(x^2 - 5y) dx dy

∫(от x=2 до y/2) ∫(от y=x до y=x/2) (x^2 - 5y) dx dy

Теперь интегрируем сначала по x, а затем по y.

Интеграл по x: ∫(x^2 - 5y) dx = (x^3/3 - 5xy) + C

Теперь интегрируем это выражение от x=x до x=y/2:

((y^3/3 - 5y^2/2) - (2^3/3 - 52y)) dy

Сначала вычислим значения при верхней и нижней границах:

При x=y/2: ((y^3/3 - 5y^2/2) - (2^3/3 - 52y/2))

При x=2: ((y^3/3 - 5y^2/2) - (8/3 - 5y))

Теперь вычисляем разницу между этими значениями и берем интеграл по y:

∫((y^3/3 - 5y^2/2) - (2^3/3 - 52y/2 - 8/3 + 5y)) dy

Теперь интегрируем каждый член:

(1/3)y^4 - (5/2)y^3 - (2^2/3)y + (5/2)y^2 - (8/3)y

Теперь вычисляем этот интеграл от y от нижней границы x до верхней границы x:

[(1/3)(y^4 - 2^4) - (5/2)(y^3 - 2^3) - (2^2/3)(y^2 - 2^2) + (5/2)(y^2 - 2^2) - (8/3)(y - 2)] от y=x до y=x/2

Теперь подставляем верхние и нижние границы x:

[(1/3)((x/2)^4 - 2^4) - (5/2)((x/2)^3 - 2^3) - (2^2/3)((x/2)^2 - 2^2) + (5/2)((x/2)^2 - 2^2) - (8/3)(x/2 - 2)] - [(1/3)(x^4 - 2^4) - (5/2)(x^3 - 2^3) - (2^2/3)(x^2 - 2^2) + (5/2)(x^2 - 2^2) - (8/3)(x - 2)]

Теперь упростим этот результат и вычислим:

[(1/3)((1/16)x^4 - 16) - (5/2)((1/8)x^3 - 8) - (2^2/3)((1/4)x^2 - 4) + (5/2)((1/4)x^2 - 4) - (8/3)(1/2x - 2)] - [(1/3)(x^4 - 16) - (5/2)(x^3 - 8) - (2^2/3)(x^2 - 4) + (5/2)(x^2 - 4) - (8/3)(x - 2)]

Теперь вычисляем разницу между этими двумя выражениями:

[(1/3)((1/16)x^4 - 16) - (5/2)((1/8)x^3 - 8) - (2^2/3)((1/4)x^2 - 4) + (5/2)((1/4)x^2 - 4) - (8/3)(1/2x - 2)] - [(1/3)(x^4 - 16) - (5/2)(x^3 - 8) - (2^2/3)(x^2 - 4) + (5/2)(x^2 - 4) - (8/3)(x - 2)]

Теперь вычисляем эту разницу:

(1/3)((1/16)x^4 - 16) - (5/2)((1/8)x^3 - 8) - (2^2/3)((1/4)x^2 - 4) + (5/2)((1/4)x^2 - 4) - (8/3)(1/2x - 2) - (1/3)(x^4 - 16) + (5/2)(x^3 - 8) + (2^2/3)(x^2 - 4) - (5/2)(x^2 - 4) + (8/3)(x - 2)

Теперь упростим это выражение:

(1/3)((1/16)x^4 - 16) - (5/2)((1/8)x^3 - 8) - (2^2/3)((1/4)x^2 - 4) + (5/2)((1/4)x^2 - 4) - (8/3)(1/2x - 2) - (1/3)(x^4 - 16) + (5/2)(x^3 - 8) + (2^2/3)(x^2 - 4) - (5