Question

Решите уравнение в целых числах x-y=xy

Answer 1

Ответ:

(0;0) или (-2;2)

Пошаговое объяснение:

$x-y=xy$

Выразим одну переменную (у) через другую (х)

$x-y=xy\\x-y-xy=0\\-y-xy=-x\\y+xy=x\\y(1+x)=x\\y=\dfrac x{x+1}$

То есть x+1 должно быть делителем x.

Но такое возможно только если х делитель от х+1 отличается на -1, т.е.

x = -2

Или наоборот, т.е.

x = 0

Тогда в этих случаях:

y = 2

или

y = 0

Answer 2

Данное уравнение выглядит как $x - y = xy$. Давайте попробуем решить его:

$x - y = xy$

Мы можем выразить одну из переменных через другую. Давайте попробуем выразить $x$ через $y$:

$x = xy + y$

Факторизуем $y$ из правой стороны:

$x = y(x + 1)$

Теперь у нас есть выражение для $x$ через $y$. Чтобы найти целочисленные решения, $x$ должно быть делителем правой стороны (произведения $y$ и $x + 1$). Это означает, что $x$ может быть равно $y$ или $-y$. Однако, если $x = y$, то выражение $x + 1$ будет больше $y$ и не будет делиться на $y$.

Поэтому рассмотрим случай $x = -y$:

$x = -y$ $-y = y(-y + 1)$ $-y = -y^2 + y$ $0 = -y^2$

Заметим, что это уравнение имеет только одно решение, $y = 0$, что соответствует $x = 0$.

Таким образом, уравнение $x - y = xy$ имеет единственное целочисленное решение: $x = 0$ и $y = 0$.