Question

Высота прямого кругового конуса РО = 7, радиус основания ОА = ОВ = 6, угол АОВ равен 30°. Найдите объем треугольной пирамиды РОАВ.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ V_{POAB} = 63 }$

Пошаговое объяснение:

Дано: РО = 7, PO - высота прямого кругового конуса, ОА = ОВ = 6,

∠AOB = 30° , O - цент окружности

Найти: $V_{POAB}$ - ?

Решение: Рассмотрим треугольник ΔAOB. По формуле площади треугольника: $S_{зAOB} = \dfrac{OA \cdot OB \cdot \sin \angle AOB}{2} = \dfrac{6 \cdot 6 \cdot \sin 30^{\circ}}{2} = \dfrac{36 \cdot 0,5}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$.

По формуле объема пирамиды:

$V_{POAB} = S_{зAOB} \cdot PO = 9 \cdot 7 = 63$ кубических единиц.

Answer 2

Объем треугольной пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, $h$ - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь треугольника $AOV$, который образуется сечением пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $O$ основания и образующей угол $30^\circ$ с его ребром $OA$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C),$

где $a = OV = 6,$ $b = OA = 6,$ и $C = 30^\circ$ (угол между сторонами $a$ и $b$).

Переведем угол $30^\circ$ в радианы: $\frac{\pi}{6}$.

Тогда площадь треугольника $AOV$:

$S_{AOV} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 18 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4.5.$

Теперь, когда у нас есть площадь основания пирамиды $S_{\text{основания}} = 4.5$ и высота пирамиды $h = 7$, можем подставить значения в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4.5 \cdot 7 = 1.5 \cdot 7 = 10.5.$

Объем треугольной пирамиды $ROAV$ составляет $10.5$ кубических единиц.