Question

При каких значениях α прямые αx-2y-1=0 и 6x-4y-3=0 а) Параллельны б) Имеют одну общую точку

Answer 1

$ax-2y-1=0\\-2y=-ax+1\\\\y=\dfrac{ax}2-\dfrac12\\\\y=\dfrac{ax}2-0.5\\\\y=\dfrac{a}2x-0.5$

$6x-4y-3=0\\-4y=3-6x\\4y=6x-3\\\\y=\dfrac64x-\dfrac34\\\\y=1.5x-0.75$

а) Если даны две функции, у которых коэффициент k (стоящий перед x) равен, то графики этих функций будут параллельны.

У первой функции k = a/2, у второй - 1,5. Для того, чтобы коэффициенты были равны, нужно подставить такое значение a, чтобы при делении на 2 оно давало 1,5.

В таком случае, a = 3.

б) Если даны две функции, не имеющих равных коэффициентов k и m (то есть она не будут параллельны или одна функция не равна другой), то у графиков этих функций будет одна общая точка. В таком случае, a может принять любое значение, кроме 3 (иначе графики будут параллельны).

То есть, $a\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$

Answer 2

Для двух прямых αx-2y-1=0 и 6x-4y-3=0, чтобы они были параллельными, их нормальные векторы должны быть коллинеарными.

Нормальный вектор для прямой αx-2y-1=0 можно получить из коэффициентов перед x и y, т.е. (α, -2).

Нормальный вектор для прямой 6x-4y-3=0 равен (6, -4).

Два вектора коллинеарны, если они пропорциональны, то есть каждая компонента одного вектора является кратной соответствующей компоненты другого вектора.

Это означает, что (α, -2) и (6, -4) должны быть пропорциональными. Мы можем записать это как:

α/6 = -2/-4

Упрощая это уравнение, получим:

α/6 = 1/2

Теперь, чтобы определить, при каких значениях α прямые имеют одну общую точку, мы можем решить систему уравнений:

αx-2y-1=0 6x-4y-3=0

Мы можем использовать метод замещения или метод определителей для решения этой системы уравнений. При решении этой системы мы найдем значения α, при которых у нее есть решение (x, y).

Итак, чтобы ответить на вопрос:

а) Прямые параллельны, когда α/6 = 1/2 или α = 3. б) Прямые имеют одну общую точку при любом значении α, отличном от 3.

Таким образом, при α = 3 прямые параллельны, а при α ≠ 3 они имеют одну общую точку.