Question

Для положительных чисел а, б, с, д докажите неравенство а) 1< а/а+б+с + б/б+с+д + с/с+д+а + д/д+а+б​

Answer 1

Заметим, что выражение справа является однородным. Это означает, что если четверка $(a,b,c,d)$ удовлетворяет неравенству, то четверка $(\lambda a, \lambda b, \lambda c, \lambda d), \lambda > 0$ тоже.  Поэтому достаточно доказать неравенство при условии $a+b+c+d=1$. Тогда неравенство примет вид: $1 a+b+c+d$, откуда $\frac{ad}{1-d}+\frac{ba}{1-a}+\frac{bc}{1-b}+\frac{dc}{1-c}>0$, что очевидно.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (или неравенством Коши-Шварца), которое гласит:

$$\left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right)$$

В нашем случае, пусть $x_1 = \frac{a}{\sqrt{a+b+c}}$, $x_2 = \frac{b}{\sqrt{b+c+d}}$, $x_3 = \frac{c}{\sqrt{c+d+a}}$ и $x_4 = \frac{d}{\sqrt{d+a+b}}$.

Аналогично, пусть $y_1 = \sqrt{a+b+c}$, $y_2 = \sqrt{b+c+d}$, $y_3 = \sqrt{c+d+a}$ и $y_4 = \sqrt{d+a+b}$.

Теперь мы можем применить неравенство Коши-Буняковского:

$$\left( \sum_{i=1}^4 x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^4 x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^4 y_i^2 \right)$$

Подставляя значения $x_i$ и $y_i$, получаем:

$$\left( \frac{a}{\sqrt{a+b+c}} \cdot \sqrt{a+b+c} + \frac{b}{\sqrt{b+c+d}} \cdot \sqrt{b+c+d} + \frac{c}{\sqrt{c+d+a}} \cdot \sqrt{c+d+a} + \frac{d}{\sqrt{d+a+b}} \cdot \sqrt{d+a+b} \right)^2 \leq \left( \frac{a^2}{a+b+c} + \frac{b^2}{b+c+d} + \frac{c^2}{c+d+a} + \frac{d^2}{d+a+b} \right) \left( (a+b+c) + (b+c+d) + (c+d+a) + (d+a+b) \right)$$