Question

Какая величина острого угла между плоскостями x+y-2z+5=0 и 2x+3y+z-2=0 ​

Answer 1

Даны уравнения двух плоскостей: x+y-2z+5=0 и 2x+3y+z-2=0

Вычислим угол между плоскостями

x + y - 2z + 5 = 0 и

2x + 3y + 2z - 2 = 0

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /(√(A1² + B1² + C1²) √(A2² + B2² + C2²))  

cos α =   |1·2 + 1·3 + (-2)·2| /(√(1² + 1² + (-2)²) √(2² + 3² + 2²) ) =

=   |2 + 3 + (-4)|/ (√(1 + 1 + 4) √(4 + 9 + 4))  =

=   1 /(√6 √17)  =   1 /√102  =   √102/ 102  ≈ 0,0990148.

α = 84,317562°.

Answer 2

Для того чтобы найти угол между двумя плоскостями, нам необходимо найти косинус угла между нормалями этих плоскостей, а затем вычислить арккосинус этого косинуса.

Начнем с нахождения нормалей к данным плоскостям. Нормаль к плоскости с уравнением Ax + By + Cz + D = 0 имеет компоненты (A, B, C).

Для первой плоскости x + y - 2z + 5 = 0: A = 1, B = 1, C = -2.

Для второй плоскости 2x + 3y + z - 2 = 0: A = 2, B = 3, C = 1.

Теперь найдем косинус угла между нормалями:

Косинус угла между нормалями A и B вычисляется по формуле: cos(θ) = (A * B) / (||A|| * ||B||),

где ||A|| и ||B|| - длины векторов A и B соответственно.

Длины нормалей: ||A|| = √(A^2 + B^2 + C^2), ||B|| = √(A^2 + B^2 + C^2).

Подставляем значения: ||A|| = √(1^2 + 1^2 + (-2)^2) = √6, ||B|| = √(2^2 + 3^2 + 1^2) = √14.

Скалярное произведение нормалей: A * B = 1 * 2 + 1 * 3 + (-2) * 1 = 3.

Теперь вычислим косинус угла: cos(θ) = (A * B) / (||A|| * ||B||) = 3 / (√6 * √14).

Теперь найдем острый угол θ, используя арккосинус: θ = arccos(cos(θ)).

Подставляем вычисленное значение косинуса: θ = arccos(3 / (√6 * √14)).

Вычислить точное значение угла можно с помощью калькулятора или программы для вычисления тригонометрических функций.