Question

Тело проходит 5 одинаковых участков пути, имея различные скорости: первый участок – со скоростью 1 м/с, а скорость каждого последующего равна сумме скоростей двух предыдущих участков. Чему равно время движения тела, если первую половину пути тело шло 60,75 с?

Answer 1

По условию :    $S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=\dfrac S5$

Скорость на участке пути до первого неизвестна, эта скорость понадобится, чтобы посчитать скорость на втором участке пути.

Пусть скорость  v₀ = 0 м/с.

На первом участке:  v₁ = 1 м/с.

На втором участке:  v₂ = v₀ + v₁ = 0 м/с + 1 м/с = 1 м/с.

На третьем участке: v₃ = v₁ + v₂ = 1 м/с + 1 м/с = 2 м/с.

На четвёртом участке:  v₄ = v₂ + v₃ = 1 м/с + 2 м/с = 3 м/с.

На пятом участке:  v₅ = v₃ + v₄ = 2 м/с + 3 м/с = 5 м/с.

Из равенства участков пути находим отношение времени для каждого участка пути.

$S_1=S_2;\ \ \ v_1t_1=v_2t_2;\ \ \ 1\cdot t_1=1\cdot t_2;\ \ \ t_2=t_1\\\\S_1=S_3;\ \ \ v_1t_1=v_3t_3;\ \ \ 1\cdot t_1=2\cdot t_3;\ \ \ t_3=\dfrac{t_1}2\\\\S_1=S_4;\ \ \ v_1t_1=v_4t_4;\ \ \ 1\cdot t_1=3\cdot t_4;\ \ \ t_4=\dfrac{t_1}3\\\\S_1=S_5;\ \ \ v_1t_1=v_5t_5;\ \ \ 1\cdot t_1=5\cdot t_5;\ \ \ t_5=\dfrac{t_1}5$

Так как участки пути одинаковые, то первая половина пути состоит из всего первого участка, всего второго участка и половины третьего участка.

$\dfrac S2=S_1+S_2+\dfrac 12\cdot S_3$

Время прохождения первой половины пути:

$t_{1/2}=\dfrac {S_1}{v_1}+\dfrac{S_2}{v_2}+\dfrac 12\cdot \dfrac {S_3}{v_3}=t_1+t_2+\dfrac 12\cdot t_3$

По условию:

$t_{1/2}=60,75\\\\t_1+t_2+\dfrac 12\cdot t_3=60,75\\\\t_1+t_1+\dfrac 12\cdot \dfrac{t_1}2=60,75\\\\\dfrac94\cdot t_1=60,75;\ \ \ \ t_1=60,75\cdot \dfrac 49=27\ c$

Время движения тела на всём пути:

$t=t_1+t_2+t_3+t_4+t_5=\\\\=t_1+t_1+\dfrac {t_1}2+\dfrac{t_1}3+\dfrac{t_1}5=\\\\=t_1\bigg(1+1+\dfrac 12+\dfrac 13+\dfrac 15\bigg)=\\\\=t_1\cdot \dfrac{30+30+15+10+6}{30}=t_1\cdot \dfrac{91}{30}\\\\t=27\cdot\dfrac{91}{30}=\dfrac{9\cdot 91}{10}=\dfrac{819}{10}=81{,}9\;c$

Ответ: 81,9 с.

Answer 2

Давайте обозначим скорости для каждого участка пути следующим образом:

• Первый участок: v1 = 1 м/с
• Второй участок: v2 = v1 + v1 = 2 м/с (сумма скоростей двух предыдущих участков)
• Третий участок: v3 = v1 + v2 = 3 м/с
• Четвертый участок: v4 = v2 + v3 = 5 м/с
• Пятый участок: v5 = v3 + v4 = 8 м/с

Таким образом, у нас есть следующие скорости для каждого участка пути.

Теперь давайте посмотрим на первую половину пути. Длина всего пути обозначена как L. Половина пути равна L/2.

Время, которое требуется, чтобы пройти каждый участок пути, можно выразить как:

• Время на первый участок: t1 = (L/2) / v1
• Время на второй участок: t2 = (L/2) / v2
• Время на третий участок: t3 = (L/2) / v3
• Время на четвертый участок: t4 = (L/2) / v4
• Время на пятый участок: t5 = (L/2) / v5

Мы знаем, что сумма времен для всех участков равна времени половины пути, которое составляет 60,75 с:

t1 + t2 + t3 + t4 + t5 = 60.75 с

Подставим выражения для времени на каждый участок:

(L/2) / v1 + (L/2) / v2 + (L/2) / v3 + (L/2) / v4 + (L/2) / v5 = 60.75 с

Так как v2 = 2 * v1, v3 = 3 * v1, v4 = 5 * v1 и v5 = 8 * v1:

(L/2) / v1 + (L/2) / (2 * v1) + (L/2) / (3 * v1) + (L/2) / (5 * v1) + (L/2) / (8 * v1) = 60.75 с

После упрощения и объединения дробей:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/8 = 60.75 с / (L/2 * v1)

Вычислим сумму дробей:

223/120 = 60.75 с / (L/2 * v1)

Теперь найдем L/2 * v1:

L/2 * v1 = 60.75 с / (223/120)

L/2 * v1 = 40.5 с

Так как мы знаем, что первая половина пути была пройдена за 60.75 с, а теперь мы нашли L/2 * v1 = 40.5 с, то можно найти общее время для всего пути:

Общее время = 2 * (L/2 * v1) = 2 * 40.5 с = 81 с

Итак, время движения тела по всем пути составляет 81 с.