Question

Найдите естественную область определения sinx/sinx+cosx

Answer 1

Ответ:

sinx/sinx+cosx = 1 + cosx

Answer 2

Естественная область определения функции $\frac{\sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)}$ - это множество значений аргумента $x$, при которых функция определена и не принимает бесконечных или неопределенных значений.

Для определения области определения данной функции обратим внимание на знаменатель дроби $\sin(x) + \cos(x)$. Этот знаменатель может быть равен нулю, только если $\sin(x) = -\cos(x)$. Зная, что $\sin(x)$ и $\cos(x)$ - это тригонометрические функции, мы можем определить множество значений $x$, при которых это равенство выполняется.

Рассмотрим уравнение:

$\sin(x) = -\cos(x)$

Разделим обе стороны на $\cos(x)$:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1$

Используя определение тангенса:

\tan(x) = -1

Теперь найдем все решения этого уравнения в интервале $0 \leq x < 2\pi$, так как функции с периодичностью $2\pi$.

Наиболее известное значение, когда $\tan(x) = -1$, - это $\frac{3\pi}{4}$ (или 135 градусов). Это значение соответствует одной из точек пересечения графиков $\sin(x)$ и $\cos(x)$ в этом интервале. Однако, так как $\tan(x)$ также периодичен, то в рамках интервала $0 \leq x < 2\pi$ есть еще одно решение, которое можно получить прибавив $\pi$ к предыдущему решению:

$\frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$

Итак, у нас есть два значения $x$, при которых $\sin(x) + \cos(x) = 0$ в интервале $0 \leq x < 2\pi$. Таким образом, естественная область определения функции $\frac{\sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)}$ - это интервал:

$0 \leq x < \frac{3\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi$