Question

Скласти рівняння площини, що проходить через точку Mo(5;-1;3) паралельно векторам а=(7;-2;1), в(4;-1;5)

Answer 1

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум другим векторам.

Возьмем произвольную точку М(x,y,z) этой плоскости и составим вектор ММо( x - xo; y - yo; z - zo)

Находится смешанным произведением векторов ММо, а и в.

Координатная форма:

x - xo      y - yo      z - zo|      x - xo        y - yo

 7             -2               1|            7               -2

4               -1               5|          4                -1     =

-10 *(x - x(M)) 4  + *(y - yo(M))   + -7 *(z - z(M))  -

-35 *(y - yo)  - 1 *(x - xo)  - 8 *(z - zo) =

= -9 *x  - 31 *y + 1 *z  + 11 =  0 .

Answer 2

Для складання рівняння площини, яка проходить через точку M₀(5;-1;3) і паралельна векторам а(7;-2;1) і в(4;-1;5), ви можете використовувати загальне рівняння площини у тривимірному просторі. Загальне рівняння площини має вигляд:

Ax + By + Cz = D,

де (A, B, C) - нормальний вектор до площини, (x, y, z) - координати точки на площині, і D - константа.

1. Знайдемо нормальний вектор до площини, використовуючи вектори a і b. Для цього візьмемо їхнє векторне добуток:

N = a × b, N = (7;-2;1) × (4;-1;5).

Для знаходження векторного добутку можемо використовувати формулу: N = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁).

Розрахунки: N₁ = (7*(-1) - (-2)(-1), 14 - 75, 7(-1) - (-2)*4), N₁ = (-5 - 2, 4 - 35, -7 + 8), N₁ = (-7, -31, 1).

Тепер у нас є нормальний вектор N = (-7, -31, 1).

2. Використовуючи знайдений нормальний вектор і точку M₀(5;-1;3), можемо записати рівняння площини:

-7x - 31y + z = D.

3. Щоб знайти константу D, підставимо координати точки M₀(5;-1;3) у це рівняння:

-75 - 31(-1) + 3 = D, -35 + 31 + 3 = D, -1 = D.

Таким чином, рівняння площини, яка проходить через точку M₀(5;-1;3) і паралельна векторам a(7;-2;1) і в(4;-1;5), має вигляд:

-7x - 31y + z = -1.