Question

Помогите мне срочно сегодня надо Задача:Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD равны и пересекаются в точке F. Докажите, что прямая, соединяющая середины сторон BC и AD перпендикулярна биссектрисе угла <CFD​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: ABCD - четырехугольник;

АС=ВD - диагонали;

ВМ=МС; АК=КD;

FЕ - биссектриса ∠CFD.

Доказать: МК⊥ТЕ

Доказательство:

Дополнительное построение: Р и Н - середины АВ и СD соответственно.

Соединим точки Р, М, Н, К.

1) Рассмотрим ΔАВС.

АР=РВ (построение)

ВМ=МС (условие)

⇒РМ - средняя линия.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$\displaystyle PM ||AC;\;\;\;PM=\frac{1}{2} AC$

2) Рассмотрим ΔАСD.

CH=HD (построение)

AK=KD (условие)

⇒KH - средняя линия.

$\displaystyle KH||AC;\;\;\;KH=\frac{1}{2}AC$

3) Рассмотрим ΔABD.

AP=PB (построение)

АК=KD (условие)

⇒ КР - средняя линия.

$\displaystyle PK||BD;\;\;\;PK=\frac{1}{2}BD$

4) Рассмотрим ΔBCD

BM=MC (условие)

CH=HD (построение)

⇒ МН - средняя линия.

$\displaystyle MH||BD;\;\;\;MH=\frac{1}{2}BD$

5) Рассмотрим РМНК.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными.

PM || AC (п.1); КН || AC (п.2) ⇒РМ || KH

PK || BD (п.3); MH || BD (п.4) ⇒ РК || MH

⇒ РМНК - параллелограмм.

$></p> <p>AC=BD (условие)</p> <p>⇒ PM=KH=PK=MH ⇒PMHK - ромб.</p> <p><em><strong>Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.</strong></em></p> <p>⇒ ∠3=∠4;  РН ⊥ МК.</p> <p>6) Рассмотрим FXHY - параллелограмм (по определению)</p> <p>∠3=∠4 (п.5)⇒ НО - биссектриса ∠ХНY</p> <p>∠1=∠2 (условие), то есть FE - биссектриса ∠XFY</p> <p><em><strong>Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.</strong></em></p> <p>⇒ HO || FE</p> <p>7)  HO || FE (п.6); РН ⊥ МК (п.5)</p> <p><em><strong>Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.</strong></em> </p> <p><strong>⇒ ТЕ ⊥ МК</strong></p> <p> </p> <p></p> </div> <div style=$

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам нужно рассмотреть различные отрезки и углы в четырехугольнике ABCD и использовать свойства сегментов биссектрисы угла и прямых, соединяющих середины сторон.

Обозначим:

1. Медиану (середину) стороны BC как M1.
2. Медиану (середину) стороны AD как M2.
3. Биссектрису угла CFD как BF.

Теперь, давайте рассмотрим треугольники ABC и ADC. У нас есть следующие факты:

1. Медианы треугольников проходят через точку пересечения диагоналей F (это общее свойство медиан в треугольниках).
2. Диагонали AC и BD равны (по условию).
3. Из-за равных диагоналей и равных сторон AB и CD (AB = CD), треугольники ABC и ADC равны (по стороне-угол-стороне).

Теперь обратите внимание, что медианы M1 и M2 треугольников ABC и ADC также равны, так как они равны соответственно. Таким образом, M1M2 можно считать средней линией четырехугольника ABCD.

Теперь, чтобы доказать, что M1M2 перпендикулярна BF (биссектрисе угла CFD), рассмотрим угол CFD. Поскольку треугольники ABC и ADC равны, угол FCD равен углу FCB.

Далее, поскольку M1 и M2 являются серединами соответствующих сторон BC и AD, прямая M1M2 также является средней линией четырехугольника ABCD. Следовательно, угол M1FM2 равен углу FCB (по теореме о средней линии четырехугольника).

Теперь, у нас есть два угла: угол FCD и угол M1FM2, которые равны углу FCB. Поскольку угол FCD и угол M1FM2 оба имеют общую вершину F и равны углу FCB, то прямая M1M2 перпендикулярна биссектрисе угла CFD.

Таким образом, мы доказали, что прямая, соединяющая середины сторон BC и AD, перпендикулярна биссектрисе угла CFD.