Question

Для функції f (x)= e^2x - cos x знайдіть первісну F, графік якої проходить через початок координат

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Щоб знайти первісну $F(x)$ для функції $f(x) = e^{2x} - \cos(x)$, яка проходить через початок координат, спершу знайдемо первісну для кожного окремого доданку і потім складемо їх разом.

1. Для $e^{2x}$:

Похідна від $e^{2x}$ за правилом ланцюжків дорівнює $2e^{2x}$. Тому, щоб знайти первісну, потрібно поділити на 2:

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1,$

де $C_1$ - константа інтегрування.

2. Для $-\cos(x)$:

Похідна від $-\cos(x)$ є $\sin(x)$. Тому первісна для $-\cos(x)$ дорівнює $\sin(x)$:

$\int -\cos(x) dx = \sin(x) + C_2,$

де $C_2$ - інша константа інтегрування.

Тепер ми можемо скласти ці дві первісні разом:

$F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + \sin(x) + C,$

де $C$ - загальна константа інтегрування.

Вам дано, що графік $F(x)$ проходить через початок координат, тобто $F(0) = 0$. Підставимо це у рівняння:

$F(0) = \frac{1}{2} e^{2\cdot0} + \sin(0) + C = \frac{1}{2} + 0 + C = \frac{1}{2} + C = 0.$

Звідси ми можемо знайти значення константи $C$:

$\frac{1}{2} + C = 0 \implies C = -\frac{1}{2}.$

Отже, загальна первісна $F(x)$, яка проходить через початок координат, має вигляд:

$F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + \sin(x) - \frac{1}{2}.$