Question

Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Оy фигур, ограниченных линиями y=(x-1)^2 , y=0, x=0,x=3

Answer 1

Відповідь:

на картинке 1 видно эти 3 линии

и ясно что если фигура буде вращятса вокруг оси Y то обем будет равен (площяди под графиком(интергал) от 0 до 3 деленая на 3)и умножыть на площяд круга в основании

итого:

S=пикча 2

Answer 2

Для нахождения объемов тел, образованных вращением фигур вокруг оси Oy, можно воспользоваться методом цилиндрических оболочек. Объем такого тела можно выразить следующей формулой:

V = ∫[a, b] 2πx * f(x) * dx,

где:

• a и b - границы интеграла (в данном случае, от 0 до 3, так как x изменяется от 0 до 3),
• x - переменная, которая меняется от a до b,
• f(x) - функция, которая определяет радиус цилиндрической оболочки на расстоянии x от оси вращения (в данном случае, это высота фигуры),
• dx - бесконечно малый элемент длины по оси x.

В данной задаче функция f(x) - это расстояние от точки на кривой y = (x - 1)^2 до оси Oy, которое равно x - 1.

Таким образом, наша задача сводится к вычислению интеграла:

V = ∫[0, 3] 2πx * (x - 1) dx.

Теперь вычислим этот интеграл:

V = 2π ∫[0, 3] (x^2 - x) dx = 2π [ (x^3/3) - (x^2/2) ] |[0, 3] = 2π [ (3^3/3) - (3^2/2) - (0/3) + (0/2) ] = 2π [ (27/3) - (9/2) ] = 2π [ 9 - 4.5 ] = 2π * 4.5 = 9π кубических единиц объема.

Итак, объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой y = (x - 1)^2, линиями y = 0, x = 0 и x = 3 вокруг оси Oy, равен 9π кубических единиц объема.