Question

Вычислить обьем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями: х=у^3;х=0;у=1.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

прежде всего перейдем от  х=у³  к более привычной записи

у = ∛х

рисуем график, получаем фигуру

теперь можем искать объем, как разницу объемов тел, вращаемых вокруг оси ох,  V1 - образованного вращением квадрата 1х1  и V2 "чашей" образованной вращением у = ∛х

а можем сразу испорльзовать формулу

$\displaystyle V= \pi \int\limits^a_b {(y_1^2-y_2^2)} \, dx$

на графике "выше" лежит график функции у = 1 - он и будет у₁

тогда

$\displaystyle V= \pi \int\limits^1_0 {(1^2-(\sqrt[3]{x} )^2)} \, dx= \pi \bigg (x -\frac{3x^{5/3}}{5} \bigg ) \bigg |_0^1=\frac{2}{5} \pi$

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси OX, ограниченной графиками функций x = y^3, x = 0, и y = 1, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

Объем такого тела можно вычислить по следующей формуле:

$V = \int_a^b 2\pi x \cdot f(y) \cdot dy$

где a и b - интервал значений y, на котором находится фигура, f(y) - расстояние от оси вращения (в данном случае оси OX) до графика функции x = y^3.

Сначала найдем интервал значений y, на котором находится фигура. Для этой конкретной фигуры, y будет изменяться от 0 до 1, так как y = 1 - это одна из границ фигуры.

Теперь нужно найти f(y) - расстояние от оси OX до графика функции x = y^3. Это расстояние равно самой функции x = y^3. Таким образом, f(y) = y^3.

Теперь мы можем вычислить объем:

$V = \int_0^1 2\pi \cdot y^3 \cdot dy$

Интегрируя это уравнение, получим объем тела:

$V = \pi \int_0^1 2y^3 \cdot dy$

$V = \pi \cdot \left[y^4\right]_0^1$

$V = \pi \cdot (1^4 - 0^4)$

$V = \pi \cdot 1$

Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями x = y^3, x = 0, и y = 1, вокруг оси OX, равен $\pi$ кубическим единицам.