Question

При каких значениях k один корень уравнения x ^ 2 + (k + 2) x + 64 = 0 в 4 раза меньше другого? ​

Answer 1

Ответ: x1+x2=-(3k+2)/4

x1*x2=(k^2-1)/4

x1/x2=3

x1=3(x2)

x1*x2=3(x2)^2

(k^2-1)/4=3(x2)^2

x2=(-3k+2)/4-x1=-(3k+2)/4-3(x2)

4(x2)=(-3k+2)/4

x2=(-3k+2)/16

(k^2-1)/4=3(-3k+2)^2/16^2

64(k^2-1)=3(-3k+2)^2

64k^2-64=3(9k^2-12k+4)

64k^2-64=27k^2-36k+12

37k^2+36k-76=0

D=12544

k=(-36+-112)/74=38/37; -2

Ответ: 38/37; -2

Answer 2

Для того чтобы один корень уравнения был в 4 раза меньше другого, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

Пусть у нас есть квадратное уравнение вида: ax^2 + bx + c = 0, и его корни обозначены как x1 и x2. Тогда мы можем использовать следующие соотношения:

1. Сумма корней: x1 + x2 = -b/a.
2. Произведение корней: x1 * x2 = c/a.

В данном уравнении у нас есть следующие параметры: a = 1 (коэффициент при x^2), b = k + 2 (коэффициент при x), c = 64.

Мы хотим, чтобы один корень был в 4 раза меньше другого, что можно записать как x1 = 4x2. Теперь мы можем использовать соотношения суммы и произведения корней:

1. x1 + x2 = -b/a.
2. x1 * x2 = c/a.

Заменяем x1 на 4x2 в первом уравнении:

4x2 + x2 = -b/a.

Упрощаем:

5x2 = -b/a.

Теперь заменяем x1 на 4x2 во втором уравнении:

(4x2) * x2 = c/a.

Упрощаем:

4x2^2 = c/a.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 5x2 = -b/a.
2. 4x2^2 = c/a.

Заменяем значения a, b и c:

1. 5x2 = -(k + 2)/1.
2. 4x2^2 = 64/1.

Теперь решим второе уравнение:

4x2^2 = 64.

Разделим обе стороны на 4:

x2^2 = 16.

Извлечем квадратный корень:

x2 = ±4.

Теперь подставим x2 обратно в первое уравнение:

5x2 = -(k + 2)/1.

Подставляем x2 = 4:

5 * 4 = -(k + 2)/1.

Упростим:

20 = -(k + 2).

Теперь избавимся от минуса, умножив обе стороны на -1:

-20 = k + 2.

Выразим k:

k = -20 - 2.

k = -22.

Итак, при k = -22 один корень уравнения x^2 + (k + 2) x + 64 = 0 будет в 4 раза меньше другого.