Question

Продифференцировать функцию y=(2^cosx)*(arcctg^3)*x

Answer 1

Ответ:

$y = {2}^{ \cos(x) } \times {arcctg}^{3} (x)$

$y' = ln(2) \times {2}^{ \cos(x) } \times ( - \sin(x)) {arcctg}^{3} (x) + 3 {arcctg}^{2} (x) \times ( - \frac{1}{1 + {x}^{2} } )\times {2}^{ \cos(x) } = \\ = {2}^{ \cos(x) } {arcctg}^{2} (x)( - ln(2) \times \sin(x) \times arcctg(x) - \frac{3}{1 + {x}^{2} } )$

Answer 2

Чтобы продифференцировать функцию $y = (2^{\cos{x}}) \cdot (\text{arcctg}^3(x))$, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте начнем с пошагового вычисления производных.

1. Дифференцирование $2^{\cos{x}}$: Для этого мы воспользуемся правилом цепной дифференциации (правило дифференцирования сложной функции).

   $f(u) = 2^u$ $f'(u) = (2^u) \cdot \ln(2) \cdot u'$

   Здесь $u = \cos{x}$ и $u' = -\sin{x}$.

   Теперь мы можем подставить значения и продифференцировать $2^{\cos{x}}$:

   $f'(u) = (2^{\cos{x}}) \cdot \ln(2) \cdot (-\sin{x})$

2. Дифференцирование $(\text{arcctg}^3(x))$: Для этого мы воспользуемся правилом степенной функции и цепной дифференциации.

   $g(x) = \text{arcctg}^3(x)$ $g'(x) = 3 \cdot (\text{arcctg}^2(x)) \cdot \frac{d}{dx}(\text{arcctg}(x))$

   Здесь $\frac{d}{dx}(\text{arcctg}(x))$ - производная арккотангенса, которая равна $-\frac{1}{1+x^2}$.

   Подставляем это значение:

   $g'(x) = 3 \cdot (\text{arcctg}^2(x)) \cdot \left(-\frac{1}{1+x^2}\right)$

Теперь мы можем выразить производную исходной функции $y$:

$y' = f'(u) \cdot g(x) + f(u) \cdot g'(x)$

Подставляем значения:

$y' = (2^{\cos{x}}) \cdot \ln(2) \cdot (-\sin{x}) \cdot (\text{arcctg}^3(x)) + (2^{\cos{x}}) \cdot 3 \cdot (\text{arcctg}^2(x)) \cdot \left(-\frac{1}{1+x^2}\right)$

Это и есть производная функции $y$.