Question

Найдите точки экстремума функции f(x)=2x-x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

у(x) = 2x-x²

находим критические точки

первая производная функции:

y' = 2-2x

приравняем ее к нулю:

2-2x = 0

x₁  = 1  - это критическая точка, ну, или какой-то экстремум

чтобы узнать какой, находим вторую производную:

y'' = -2   <0 значит точка x = 1 точка максимума функции.

у(1) = 1 - это максимум функции в точке  х=1

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 2x - x^2$, мы должны сначала найти её производную и найти значения $x$, при которых производная равна нулю. Затем мы проверим знак изменения производной в окрестности этих точек, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 2 - 2x$

2. Найдем точки, где производная равна нулю: $2 - 2x = 0$

Решим это уравнение для $x$: $2x = 2$ $x = 1$

Теперь у нас есть одна точка, где производная равна нулю: $x = 1$.

3. Чтобы определить, является ли это точкой максимума или минимума, давайте анализировать знак производной в окрестности $x = 1$:

• Если $f'(x)$ положительна для $x$ чуть меньше 1 (например, $x = 0.9$), то это будет точка локального максимума.
• Если $f'(x)$ отрицательна для $x$ чуть больше 1 (например, $x = 1.1$), то это будет точка локального минимума.

Давайте проверим значения производной:

Для $x = 0.9$: $f'(0.9) = 2 - 2 \cdot 0.9 = 2 - 1.8 = 0.2 > 0$

Для $x = 1.1$: $f'(1.1) = 2 - 2 \cdot 1.1 = 2 - 2.2 = -0.2 < 0$

Итак, $x = 1$ является точкой локального максимума функции $f(x) = 2x - x^2$.

Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим $x = 1$ в $f(x)$: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

Итак, точка экстремума функции $f(x) = 2x - x^2$ - это точка локального максимума с координатами (1, 1).