Question

Даны четыре последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии. Сумма двух крайних членов равна 27, двух средних равна 18. Определи четвертый член этой прогрессии. пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

Ответ будет "24"

Answer 2

Пусть члены геометрической прогрессии обозначены как a, ar, ar^2 и ar^3, где a - первый член, а r - знаменатель прогрессии.

У нас есть два уравнения на основе данных:

1. Сумма двух крайних членов равна 27: a + ar^3 = 27

2. Сумма двух средних членов равна 18: ar + ar^2 = 18

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Давайте начнем с уравнения (2):

ar + ar^2 = 18

Вынесем общий множитель ar:

ar(1 + r) = 18

Теперь давайте рассмотрим уравнение (1):

a + ar^3 = 27

Вынесем общий множитель a:

a(1 + r^3) = 27

Мы можем поделить уравнение (1) на уравнение (2), чтобы избавиться от переменной a:

(a(1 + r^3)) / (ar(1 + r)) = 27 / 18

Упростим обе стороны:

(1 + r^3) / (r(1 + r)) = 3/2

Теперь давайте решим это уравнение. Умножим обе стороны на 2r(1 + r), чтобы избавиться от дроби:

2(1 + r^3) = 3r(1 + r)

Распишем левую и правую стороны уравнения:

2 + 2r^3 = 3r + 3r^2

Теперь приведем все члены к одной стороне уравнения:

2r^3 - 3r^2 - 3r + 2 = 0

Теперь мы можем попробовать разложить это уравнение на множители. Один из его корней должен быть r = 1 (поскольку это геометрическая прогрессия). Поделим уравнение на (r - 1):

(r - 1)(2r^2 - r - 2) = 0

Теперь решим квадратное уравнение 2r^2 - r - 2 = 0:

(2r + 1)(r - 2) = 0

Итак, у нас есть два корня: r = -1/2 и r = 2.

Если r = -1/2, то прогрессия будет убывающей, что не соответствует условию возрастания. Таким образом, мы берем r = 2.

Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем найти a с помощью уравнения (2):

ar + ar^2 = 18 a(2) + a(2^2) = 18 2a + 4a = 18 6a = 18 a = 3

Теперь у нас есть значения a и r:

a = 3 r = 2

Чтобы найти четвертый член прогрессии (ar^3), умножим a на r^3:

ar^3 = 3 * 2^3 = 3 * 8 = 24

Итак, четвертый член этой геометрической прогрессии равен 24.