Question

Найти сумму тех значений параметра а, при которых уравнение (а^2-а-20)х^2+(а-5)х-2=0 имеет ровно одно решение.

Answer 1

Ответ : - 4,5

Решение задания прилагаю

Answer 2

Для того чтобы уравнение $(a^2-a-20)x^2+(a-5)x-2=0$ имело ровно одно решение, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В данном случае $a = a^2-a-20$, $b = a-5$, и $c = -2$. Мы хотим, чтобы $D$ был равен нулю, поэтому:

$(a-5)^2 - 4(a^2-a-20)(-2) = 0$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$(a-5)^2 + 8(a^2-a-20) = 0$

Раскроем скобки:

$a^2 - 10a + 25 + 8a^2 - 8a - 160 = 0$

Сгруппируем по $a$:

$9a^2 - 18a - 135 = 0$

Теперь разделим обе стороны на 9:

$a^2 - 2a - 15 = 0$

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$

Дискриминант равен 64, что больше нуля, поэтому у нас есть два действительных корня. Для одного решения дискриминант должен быть равен нулю. Поэтому найдем одно такое значение $a$:

$a = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, при $a = 1$ уравнение имеет ровно одно решение. Теперь найдем сумму таких значений $a$:

$a = 1$

Сумма значений параметра $a$ равна 1.