Question

Найдите промежутки знакопостоянства функции y =6x-x²​

Answer 1

Ответ:

y(x)>0 при   x∈(0;6)

y(x)<0  при   х∈(-∞;0)∪(6;+∞)

Пошаговое объяснение:

Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет свой знак, не обращаясь в нуль.

Имеем функцию:

$y=6x-x^2$  

График - парабола, ветви вниз.

Найдем точки пересечения графика функции с осью 0х:

$6x-x^2=0\\x(6-x)=0\\1)\;x_1=0\\2)\;6-x=0\\x_2=6$

Отметим данные точки на числовой оси

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки функции на промежутках:

Получим:

y(x)>0 при   x∈(0;6)

y(x)<0  при   х∈(-∞;0)∪(6;+∞)

Answer 2

Для найти промежутки знакопостоянства функции $y = 6x - x^2$, мы можем анализировать знак выражения $6x - x^2$. Для этого давайте сначала найдем корни этого выражения, которые определяют точки, в которых функция меняет свой знак.

1. Начнем с выражения $6x - x^2 = 0$.

   Попробуем решить это уравнение:

   $6x - x^2 = 0$

   Перепишем его в виде:

   $x(6 - x) = 0$

   Теперь решим два случая:

   a. $x = 0$

   b. $6 - x = 0$

   Для $6 - x = 0$, мы получаем:

   $6 - x = 0 \implies x = 6$

   Таким образом, у нас есть два корня: $x = 0$ и $x = 6$. Эти точки делят ось $x$ на три интервала: $(- \infty, 0)$, $(0, 6)$, и $(6, +\infty)$.

2. Теперь давайте проанализируем знакопостоянство на каждом из этих интервалов, используя тестовую точку внутри каждого интервала.

   a. Для интервала $(- \infty, 0)$, мы можем выбрать, например, $x = -1$:

   Подставим $x = -1$ в исходное выражение:

   $y = 6x - x^2 = 6(-1) - (-1)^2 = -6 - 1 = -7$

   Значит, на интервале $(- \infty, 0)$ функция $y$ отрицательна ($y < 0$).

   b. Для интервала $(0, 6)$, возьмем $x = 1$:

   Подставим $x = 1$ в исходное выражение:

   $y = 6x - x^2 = 6(1) - (1)^2 = 6 - 1 = 5$

   Значит, на интервале $(0, 6)$ функция $y$ положительна ($y > 0$).

   c. Для интервала $(6, +\infty)$, выберем $x = 7$:

   Подставим $x = 7$ в исходное выражение:

   $y = 6x - x^2 = 6(7) - (7)^2 = 42 - 49 = -7$

   Значит, на интервале $(6, +\infty)$ функция $y$ отрицательна ($y < 0$).

Итак, промежутки знакопостоянства функции $y = 6x - x^2$ следующие:

• На интервале $(- \infty, 0)$ функция отрицательна ($y < 0$).
• На интервале $(0, 6)$ функция положительна ($y > 0$).
• На интервале $(6, +\infty)$ функция отрицательна ($y < 0$).