Question

Sos❗❗Найти общее решение уравнения y"-2y'+5y=5x^2+6x-12

Answer 1

Ответ: y=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Пошаговое объяснение:

Перед нами - неоднородное ЛДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение y=y1+y2, где y1 - общее решение однородного уравнения y"-2*y'+5*y=0, а y2 - частное решение данного неоднородного уравнения.

1) Находим y1. Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²-2*k+5=0. Оно имеет комплексные сопряжённые корни k1=1+2*i и k2=1-2*i, где i=√(-1). Поэтому y1=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)], где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2) Находим y2. Правая часть уравнения имеет "специальный" вид y2=e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=n=0, P1(x)=5*x²+6*x-12, P2(x)=0. Так как числа m+i*n и m-i*n не являются корнями ХУ, то y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)]=R1(x), где R1(x) - многочлен, степень которого равна старшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x). Так как эта степень равна двум, то R1(x)=A*x²+B*x+C, где A,B,C - неизвестные пока коэффициенты. Для их нахождения дважды дифференцируем y2: y2'=2*A*x+B, y2"=2*A и подставляем y2, y2' и y2" в уравнение. После приведения подобных членов получаем алгебраическое уравнение: 5*A*x²+x*(-4*A+5*B)+(2*A-2*B+5*C)=5*x²+6*x-12. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, приходим к системе уравнений:

5*A=5

-4*A+5*B=6

2*A-2*B+5*C=-12

Решая её, находим A=1, B=2, С=-2. Тогда y2=x²+2*x-2.

3) Находим y=y1+y2=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Проверка:

y'=C1*e^x*cos(2*x)-2*C1*e^x*sin(2*x)+C2*e^(x)*sin(2*x)+2*C2*e^x*cos(2*x)+2, y'"=-3*C1*e^x*cos(2*x)-4*C1*e^x*sin(2*x)-3*C2*e^x*sin(2*x)+4*C2*e^x*cos(2*x)+2, y"-2*y'+5*y=5*x²+6*x-12, что совпадает с правой частью уравнения. Значит, решение найдено верно.

 

Answer 2

Для нахождения общего решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, вы можете воспользоваться методом вариации произвольных постоянных (МВПП). Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения и сложим его с общим решением однородного уравнения.

Однородное уравнение имеет вид: y'' - 2y' + 5y = 0

Для его решения, предположим, что решение имеет вид y(x) = e^(rx). Подставляя это предположение в уравнение, получаем:

r^2e^(rx) - 2re^(rx) + 5e^(rx) = 0

Теперь мы можем разделить уравнение на e^(rx):

r^2 - 2r + 5 = 0

Это квадратное уравнение относительно r. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16

Поскольку дискриминант отрицателен, у нас есть два комплексных корня:

r1 = (-b + sqrt(-16)) / (2a) = (-2 + 4i) / 2 = -1 + 2i r2 = (-b - sqrt(-16)) / (2a) = (-2 - 4i) / 2 = -1 - 2i

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = c1e^(-x)cos(2x) + c2e^(-x)sin(2x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Чтобы найти частное решение, предположим, что оно имеет вид y_p(x) = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - постоянные коэффициенты, которые нужно найти. Подставим это в неоднородное уравнение:

y_p'' - 2y_p' + 5y_p = 5x^2 + 6x - 12

После дифференцирования и подстановки получаем:

2A - 2(2Ax + B) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5x^2 + 6x - 12

Теперь соберем все члены уравнения:

(2A - 2B + 5C)x^2 + (-4A + 5B)x + (2A - 2B + 5C) = 5x^2 + 6x - 12

Теперь сравним коэффициенты при соответствующих степенях x:

2A - 2B + 5C = 5 -4A + 5B = 6 2A - 2B + 5C = -12

Теперь решим эту систему уравнений. Начнем с первого уравнения:

2A - 2B + 5C = 5

Далее, второе уравнение:

-4A + 5B = 6

И, наконец, третье уравнение:

2A - 2B + 5C = -12

Мы получим значения A, B и C. После их нахождения, частное решение y_p(x) будет известно.

И, наконец, общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

Подставьте значения для y_h(x) и y_p(x), чтобы получить окончательное общее решение.