Question

1. Исследовать на монотонность функцию и найти её экстремумы:y=3x^3 + 2x^2 – 14​

Answer 1

Ответ:

=================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на монотонность и найти её экстремумы, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x.
2. Решим уравнение для нахождения критических точек, где производная равна нулю или не существует.
3. Определим интервалы монотонности и анализируем знаки производной на этих интервалах.
4. Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов, чтобы найти экстремумы.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x:

y = 3x^3 + 2x^2 - 14

y' = d/dx (3x^3) + d/dx (2x^2) - d/dx (14)

y' = 9x^2 + 4x

Шаг 2: Решим уравнение для нахождения критических точек:

9x^2 + 4x = 0

Факторизуем это уравнение:

x(9x + 4) = 0

Итак, x = 0 и 9x + 4 = 0.

Для 9x + 4 = 0, мы получаем:

9x = -4 x = -4/9

Теперь у нас есть две критические точки: x = 0 и x = -4/9.

Шаг 3: Определим интервалы монотонности, анализируя знаки производной на этих интервалах.

Для x < -4/9: Подставим x = -1 (значение меньше -4/9) в y':

y'(-1) = 9(-1)^2 + 4(-1) = 9 - 4 = 5

Знак производной положителен на этом интервале.

Для -4/9 < x < 0: Подставим x = -1/2 (значение между -4/9 и 0) в y':

y'(-1/2) = 9(-1/2)^2 + 4(-1/2) = 9/4 - 2 = 1/4

Знак производной положителен на этом интервале.

Для x > 0: Подставим x = 1 (значение больше 0) в y':

y'(1) = 9(1)^2 + 4(1) = 9 + 4 = 13

Знак производной положителен на этом интервале.

Итак, функция монотонно возрастает на всех интервалах.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов:

a) x = -4/9: y(-4/9) = 3(-4/9)^3 + 2(-4/9)^2 - 14

b) x = 0: y(0) = 3(0)^3 + 2(0)^2 - 14 = -14

c) x = 1: y(1) = 3(1)^3 + 2(1)^2 - 14 = 3 + 2 - 14 = -9

Таким образом, функция имеет локальный минимум в точке x = 0 и локальный максимум в точке x = -4/9. Значения функции в этих точках соответственно равны -14 и -9.