Question

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(-1;1) В(3;3) С(2;-2) D(-2;-1). Найдите синус угла между его диагоналями в инете есть, но я там ничего не понимаю, как правильно писать и оформить ​

Answer 1

Ответ:

Вектора

AC (3;-3) Длина 3√2

BD (-5;-4) Длина √(5^2+4^2)=√41

Косинус искомого угла

| AC * BD | / | AC | / | BD | = | 3*(-5)+3*4| / 3√2 / √41 = 1 / √82

Синус

√ ( 1 - 1/82) = 9 / √ 82

Пошаговое объяснение:

или так

(AC)=(3;-3)

(BD)=(-5;-4)

|AC|=3sqrt(2)

|BD|=sqrt(41)

(AC)(BD)=(-15+12)=-3

cosx=-3/3sqrt(2)*sqrt(41)=-sqrt(82)/82

sinx=sqrt(1-82/82^2)=-9sqrt(82)/82

или так

[(AC)(BD)]=-27

sinx=-27/3sqrt(2)sqrt(41)=-9sqrt(82)/82

(первый вариант по понятнее, я думая можно так списать)

Answer 2

Чтобы найти синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите координаты середины диагоналей. Для четырехугольника ABCD это будут точки M (середина диагонали AC) и N (середина диагонали BD).

Координаты M можно найти, усреднив координаты точек A и C:

M = ((-1 + 2) / 2, (1 - 2) / 2) = (0.5, -0.5)

Координаты N можно найти, усреднив координаты точек B и D:

N = ((3 - 2) / 2, (3 - 1) / 2) = (0.5, 1)

2. Найдите векторы диагоналей. Для этого вычислите разности координат точек:

Вектор диагонали AC: AM = M - A = (0.5 - (-1), -0.5 - 1) = (1.5, -1.5)

Вектор диагонали BD: BN = N - B = (0.5 - 3, 1 - 3) = (-2.5, -2)

3. Вычислите скалярное произведение векторов AM и BN:

AM · BN = (1.5 * -2.5) + (-1.5 * -2) = -3.75 + 3 = -0.75

4. Найдите длины векторов AM и BN:

Длина вектора AM (|AM|) равна корню из суммы квадратов его компонент:

|AM| = √((1.5^2) + (-1.5^2)) = √(2.25 + 2.25) = √4.5 = 2√2

Длина вектора BN (|BN|) равна корню из суммы квадратов его компонент:

|BN| = √((-2.5^2) + (-2^2)) = √(6.25 + 4) = √10.25 = √41/2

5. Теперь вычислите синус угла между диагоналями, используя формулу:

sin(θ) = (AM · BN) / (|AM| * |BN|)

sin(θ) = (-0.75) / (2√2 * √41/2) = (-0.75) / (2√2 * √(41/2)) = (-0.75) / (2 * √(2 * 41/2)) = (-0.75) / (2 * √(82/2)) = (-0.75) / (2 * √(41)) = (-0.75) / (2√41)

Таким образом, синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD равен:

sin(θ) = (-0.75) / (2√41)