Question

Найти частные производные первого порядка функции “u” по независимым переменным y и z. Пример: u=z^2 t^3 e^arcsin(yt) (С объяснением пожалуйста!!!) ОЧЕНЬ СРОЧНО НАДО!!!!

Answer 1

$u=z^2t^3\cdot e^{arcsin(yt)}\\\\\\u'_{y}=z^2t^3\cdot e^{arcsin(yt)}\cdot \dfrac{t}{\sqrt{1-(yt)^2}}\\\\\\u'_{t}=3\cdot z^2\cdot t^2\cdot e^{arcsin(yt)}+z^2t^3\cdot e^{arcsin(yt)}\cdot \dfrac{y}{\sqrt{1-(yt)^2}}\\\\\\u'_{z}=2z\cdot t^3\cdot e^{arcsin(yt)}$

Answer 2

Для нахождения частных производных первого порядка функции "u" по независимым переменным "y" и "z" нужно взять производные этой функции по каждой из этих переменных, рассматривая остальные переменные (в данном случае "t" и "a") как константы. Ваша функция "u" задана следующим образом:

u = z^2 * t^3 * e^(arcsin(yt))

Теперь найдем частные производные:

1. Частная производная по "y" (при фиксированных "t" и "a"):

Для вычисления этой производной используется правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдем производную внутренней функции "arcsin(yt)" по "y", а затем умножим ее на производную внешней функции.

По правилу дифференцирования arcsin(u): d(arcsin(u))/du = 1 / sqrt(1 - u^2)

Далее, мы умножаем это на производную внешней функции по "y":

d(e^(arcsin(yt)))/dy = e^(arcsin(yt)) * d(arcsin(yt))/dy = e^(arcsin(yt)) * (1 / sqrt(1 - (yt)^2))

Теперь умножим полученное выражение на остальные компоненты функции "u":

∂u/∂y = z^2 * t^3 * e^(arcsin(yt)) * (1 / sqrt(1 - (yt)^2))

2. Частная производная по "z" (при фиксированных "t" и "a"):

Производная по "z" просто равна первому слагаемому функции "u":

∂u/∂z = 2 * z * t^3 * e^(arcsin(yt))

Теперь у вас есть частные производные функции "u" по "y" и "z".