Question

Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью 0,37. Найдите вероятность того, что колонии микроорганизмов будут обнаружены в четырех из шести наугад взятых пробах.

Answer 1

Ответ:

P = 15*(0,37)^4*(0,63)^2 = 0,111578175135 ≈ 0.112

Пошаговое объяснение:

Найдем сначала вероятность того, что микроорганизмы будут обнаружены в  РОВНО четырех определенных колбах. Например в колбах с номерами: 1,2,3,6 (но можно выбрать любые номера)

Вероятность этого события: p1 = (0,37)^4*(1-0,37)^2 - поскольку в двух колбах не должно быть микроорганизмов, а в четырех они должны быть.

Теперь определим вероятность этого события при взятии колб наугад.

Иначе говоря, нас удовлетворит, если взять любое сочетание 4 колб из 6 возможных в которых будут микроорганизмы. Как было показано выше, вероятности этих событий для произвольно взятых сочетаний равны друг другу и равны p1, а значит вероятность того, что колонии микроорганизмов будут обнаружены в четырех из шести наугад взятых пробах равна сумме вероятностей для каждого из сочетаний и равна:

P = C(4,6) * p1 или

P = C(4,6)*(0,37)^4*(1-0,37)^2 - этот результат также можно получить из хорошо известной формулы Бернулли.

C(4,6) = 6!/(4!*2!) = 5*6/2 = 15

P = 15*(0,37)^4*(0,63)^2 = 0,111578175135 ≈ 0.112

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться биномиальным распределением, так как у нас есть серия независимых испытаний (взятие проб) с фиксированной вероятностью успеха (вероятность появления колонии микроорганизмов).

Формула для вероятности в биномиальном распределении:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где:

• P(X = k) - вероятность того, что произойдет k успехов из n испытаний,
• n - общее количество испытаний (в данном случае 6 проб),
• k - количество успехов (в данном случае 4 пробы с колониями микроорганизмов),
• p - вероятность успеха в одном испытании (0,37).

Сначала найдем значение биномиального коэффициента C(n, k), который обозначает количество способов выбрать k успехов из n испытаний. Формула для C(n, k):

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),

где "!" обозначает факториал. В данном случае:

C(6, 4) = 6! / (4! * (6 - 4)!) = 15.

Теперь мы можем вычислить вероятность P(X = 4):

P(X = 4) = 15 * (0,37^4) * (1 - 0,37)^(6 - 4) ≈ 0,294.

Итак, вероятность того, что колонии микроорганизмов будут обнаружены в четырех из шести наугад взятых пробах, составляет приблизительно 0,294 или 29,4%.