Question

Какие значения может принимать наибольший общий делитель чисел 2N + 1 и N + 8, где N — некоторое натуральное число?

Answer 1

Ответ:

Просто́е число́ — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя[1]. Другими словами, число {\displaystyle x}x является простым, если оно больше {\displaystyle 1}1 и при этом делится без остатка только на {\displaystyle 1}1 и на {\displaystyle x}x. К примеру, {\displaystyle 5}5 — простое число, а {\displaystyle 6}6 не является простым числом, так как, помимо {\displaystyle 1}1 и {\displaystyle 6}6, оно также делится на {\displaystyle 2}2 и на {\displaystyle 3}3.

Целые числа от нуля до ста. Простые числа отмечены красным.

Разложение числа 42 на простые множители: {\displaystyle 42=2\times 3\times 7}{\displaystyle 42=2\times 3\times 7}

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение для наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел: $a$ и $b$. Пусть $d$ — НОД $a$ и $b$, то есть $d = \text{НОД}(a, b)$.

Используя это определение, мы можем найти НОД для $2N + 1$ и $N + 8$. Представим $2N + 1$ в виде $a$ и $N + 8$ в виде $b$.

$a = 2N + 1$

$b = N + 8$

Теперь найдем НОД $a$ и $b$, то есть $\text{НОД}(2N + 1, N + 8)$.

Используем алгоритм Евклида для нахождения НОД:

$$\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(2N + 1, N + 8) = \text{НОД}(N + 8, 2N + 1 - (N + 8))$$

$$= \text{НОД}(N + 8, N - 7)$$

Теперь применим еще одну итерацию алгоритма Евклида:

$$= \text{НОД}(N - 7, N + 8 - (N - 7))$$

$$= \text{НОД}(N - 7, 15)$$

Найдем НОД для $N - 7$ и $15$ при различных значениях $N$.

1. Если $N = 8$: $\text{НОД}(8 - 7, 15) = \text{НОД}(1, 15) = 1$

2. Если $N = 9$: $\text{НОД}(9 - 7, 15) = \text{НОД}(2, 15) = 1$

3. Если $N = 10$: $\text{НОД}(10 - 7, 15) = \text{НОД}(3, 15) = 3$

И так далее. В общем случае, НОД $N - 7$ и $15$ будет принимать значения $1$ или $3$ в зависимости от значения $N$.