Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на множестве f(x) =2x^2-5x+6, [-2;4]​

Answer 1

Ответ:

f(x) =2x^2-5x+6, [-2;4]​

f'(x) =2x^2-5x+6

D=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×6=-23

Xmax=24

Xmin=-1

Answer 2

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 6$ на заданном интервале $[-2;4]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции $f(x)$, где производная $f'(x)$ равна нулю.
2. Определите значения функции $f(x)$ в найденных критических точках и на концах интервала.
3. Сравните эти значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 4x - 5$

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение:

$4x - 5 = 0$ $4x = 5$ $x = \frac{5}{4}$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = \frac{5}{4}$.

2. Теперь найдем значения функции $f(x)$ в критической точке и на концах интервала:

a) $f\left(\frac{5}{4}\right) = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 6$

b) $f(-2) = 2(-2)^2 - 5(-2) + 6$

c) $f(4) = 2(4)^2 - 5(4) + 6$

3. Вычислим значения:

a) $f\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} + 6 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{48}{8} = \frac{25 - 50 + 48}{8} = \frac{23}{8}$

b) $f(-2) = 2(4) + 10 + 6 = 8 - 10 + 6 = 4$

c) $f(4) = 2(16) - 20 + 6 = 32 - 20 + 6 = 18$

Теперь у нас есть значения функции в критической точке и на концах интервала:

Наименьшее значение: $f(-2) = 4$ Наибольшее значение: $f\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{23}{8}$

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ на интервале $[-2;4]$ равно 4, а наибольшее значение равно $\frac{23}{8}$.