Question

Необходимо найти общее решение полного дифференциального уравнения. (5xy^2-x^3)dx+(5x^2y-y)dy=0

Answer 1

Ответ: 5/2*x²*y²-1/4*x⁴-1/2*y²=C.

Пошаговое объяснение:

Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=5*x*y²-x³, Q(x,y)=5*x²*y-y. Так как (dP/dy)=(dQ/dx)=10*x*y (здесь (dP/dy) и (dQ/dx) -частные производные), то левая часть уравнения действительно представляет собой полный дифференциал du неизвестной функции u(x,y). Но так как du=(du/dx)*dx+(du/dy)*dy, то P(x,y)=(du/dx) и Q(x,y)=(du/dy). Решая уравнение P(x,y)=(du/dx)=5*x*y²-x³, находим u(x,y)=∫(5*x*y²-x³)*dx=5/2*x²*y²-1/4*x⁴+f(y), где f(y) - неизвестная функция от y. Дифференцируя это выражение по y и приравнивая его к Q(x,y), получаем уравнение (du/dy)=5*x²*y+f'(y)=5*x²*y-y, или f'(y)=-y. Отсюда f(y)=-∫y*dy=-1/2*y².Тогда u=5/2*x²*y²-1/4*x⁴-1/2*y², а так как du=0, то u=C, где C - произвольная постоянная. Отсюда 5/2*x²*y²-1/4*x⁴-1/2*y²=C - решение данного уравнения.  

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение в полных дифференциалах. Чтобы найти его общее решение, давайте проверим, является ли оно точным. Уравнение вида M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 точное, если выполняется условие:

∂M/∂y = ∂N/∂x

Где ∂M/∂y - частная производная M по y, и ∂N/∂x - частная производная N по x.

В данном случае:

M(x, y) = 5xy^2 - x^3 N(x, y) = 5x^2y - y

Теперь найдем частные производные:

∂M/∂y = 10xy ∂N/∂x = 10xy

Оба частных производных равны 10xy, что означает, что условие выполняется. Уравнение действительно точное.

Чтобы найти общее решение, нам нужно найти функцию F(x, y), такую, что:

∂F/∂x = M ∂F/∂y = N

Начнем с нахождения ∂F/∂x:

∂F/∂x = 5xy^2 - x^3

Теперь найдем F(x, y), взяв интеграл ∂F/∂x по x:

F(x, y) = ∫(5xy^2 - x^3) dx = (5/2)x^2y^2 - (1/4)x^4 + g(y)

Здесь g(y) - это функция, зависящая только от y, так как мы интегрировали по x. Теперь найдем ∂F/∂y:

∂F/∂y = ∂/∂y [(5/2)x^2y^2 - (1/4)x^4 + g(y)] = 5x^2y + g'(y)

Теперь мы должны сравнить это с N(x, y):

N(x, y) = 5x^2y - y

Чтобы сравнять два выражения, нам нужно выбрать g(y) так, чтобы g'(y) = -y. Для этого возьмем:

g'(y) = -y g(y) = - (1/2)y^2 + C

Теперь мы знаем, что g(y) = - (1/2)y^2 + C. Подставим это обратно в F(x, y):

F(x, y) = (5/2)x^2y^2 - (1/4)x^4 - (1/2)y^2 + C

Таким образом, общее решение данного полного дифференциального уравнения имеет вид:

(5/2)x^2y^2 - (1/4)x^4 - (1/2)y^2 + C = 0

Где C - произвольная постоянная.