Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка( уравнения с разделяющимися переменными,однородные и линейные). (xy'-y)*arctg y/x=x

Answer 1

Ответ:

$(xy' - y)arctg \frac{y}{x} = x \: \: \: | \div x \\ (y' - \frac{y}{x} )arctg \frac{y}{x} = 1 \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ (u'x + u - u)arctg(u) = 1 \\ \frac{du}{dx} x \times arctg(u) = 1 \\ \int\limits \: arctg(u)du = \int\limits \frac{dx}{x}$

По частям интеграл:

$\int\limits \: arctgxdx \\ \\U = arctgx \: \: \: \: \: dU = \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ dV = dx \: \: \: V= x \\ \\ = x \times arctgx - \int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} + 1 } = \\ = x \times arctgx - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } = \\ = x \times arctgx - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } = \\ = xarctgx - \frac{1}{2} ln(1 + {x}^{2} ) + C$

Возвращаемся:

$\int\limits \: arctgudu = \int\limits \frac{dx}{x} \\ uarctgu - \frac{1}{2} ln(1 + {u}^{2} ) = ln(x) + C \\ \frac{y}{x} arctg \frac{y}{x} - \frac{1}{2} ln( \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 1) = ln(x) + C$

общее решение

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

$(xy' - y) \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = x$

Мы можем попытаться решить его, используя метод разделяющихся переменных. Для этого выразим $y'$ через $x$ и $y$, а затем проинтегрируем обе стороны уравнения.

1. Выразим $y'$ через $x$ и $y$: $xy' - y = \frac{x}{\arctan\left(\frac{y}{x}\right)}$ $y' = \frac{x}{y} + \frac{1}{x\arctan\left(\frac{y}{x}\right)}$

2. Разделим переменные и проинтегрируем: Разделим уравнение на $x$: $\frac{y'}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x^2\arctan\left(\frac{y}{x}\right)}$

   Теперь можно проинтегрировать обе стороны относительно $x$: $\int \frac{y'}{x} \, dx = \int \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x^2\arctan\left(\frac{y}{x}\right)}\right) \, dx$

   $\ln |x| = \ln |y| + \int \frac{1}{x^2\arctan\left(\frac{y}{x}\right)} \, dx + C$

   $\ln |x| = \ln |y| + \int \frac{1}{x^2\arctan\left(\frac{y}{x}\right)} \, dx + C$

   Воспользуемся заменой переменных: $u = \frac{y}{x}$, тогда $y = u x$ и $y' = u'x + u$. Подставим это в интеграл:

   $\ln |x| = \ln |y| + \int \frac{1}{x^2\arctan(u)} \, dx + C$

   Замена $u = \frac{y}{x}$ дает $y = ux$, и $y' = u'x + u$. Таким образом, $\frac{y'}{x} = u' + u$. Подставляем это в уравнение:

   $\ln |x| = \ln |u x| + \int \frac{1}{x^2\arctan(u)} \, dx + C$

   $\ln |x| = \ln |u| + \ln |x| + \int \frac{1}{x^2\arctan(u)} \, dx + C$